Retour

Exercice 6

Piste - Énergie mécanique Niveau : Difficile

1 Énoncé

Un solide ponctuel de masse $m = 100\text{ g}$ glisse sur une piste constituée d'une partie rectiligne AB inclinée d'un angle $\alpha = 30^\circ$ par rapport à l'horizontale, suivie d'une partie circulaire BC de rayon $r = 1,0\text{ m}$.

Le solide est lâché sans vitesse initiale du point A. La piste AB est rugueuse ($f = 0,50\text{ N}$), la partie BC est lisse.

On donne : $g = 10\text{ N.kg}^{-1}$, $AB = 2,0\text{ m}$.

1. Calculer la vitesse du solide en B.

2. Calculer la vitesse du solide en C (au sommet du cercle).

3. Le solide quitte-t-il la piste en C ? Justifier.

Piste AB inclinée et BC circulaire

Calculer la vitesse $v_B$.

✅ Solution

Rappel :

$$\Delta E_c = \sum W(\vec{F})$$

Bilan des forces sur AB :

$\vec{P}$ : Poids
$\vec{R}$ : Réaction normale
$\vec{f}$ : Frottement (opposé au mouvement)

Travaux :

$$W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot AB \cdot \sin\alpha$$ $$W(\vec{R}) = 0$$ $$W(\vec{f}) = -f \cdot AB$$

Théorème de l'énergie cinétique :

$$\frac{1}{2} m v_B^2 = m \cdot g \cdot AB \cdot \sin\alpha - f \cdot AB$$ $$v_B = \sqrt{2AB\left(g\sin\alpha - \frac{f}{m}\right)}$$ $$v_B = \sqrt{2 \times 2,0 \times \left(10 \times \sin 30^\circ - \frac{0,50}{0,100}\right)}$$ $$v_B = \sqrt{4 \times (5 - 5)} = \sqrt{0} = 0\text{ m.s}^{-1}$$

Réponse

$$v_B = 0\text{ m.s}^{-1}$$

Le travail du frottement annule exactement le travail du poids. Le solide s'arrête en B et ne peut pas aborder la partie circulaire.

Calculer la vitesse $v_C$.

✅ Solution

D'après la question 1, $v_B = 0$.

Le solide n'atteint pas la partie BC, donc $v_C$ n'existe pas.

Réponse

Le solide s'arrête en B. Il n'y a pas de mouvement sur BC.

Le solide quitte-t-il la piste en C ?

✅ Solution

Conclusion :

Puisque $v_B = 0$, le solide ne peut pas aborder la partie circulaire BC. Il s'arrête en B et ne quitte donc pas la piste en C.

Remarque

Si le frottement avait été plus faible ($f < 5\text{ N}$), le solide aurait atteint la partie circulaire. Pour qu'il décolle en C, il faudrait $v_C > 0$.

Exercice 5 Retour