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Exercice 8

Point matériel sur piste Niveau : Difficile

1 Énoncé

Un solide S assimilable à un point matériel de masse $m = 50\text{ g}$ est en mouvement sur une piste constituée d'une partie rectiligne AB inclinée d'un angle $\alpha = 60^\circ$ par rapport à l'horizontale et d'une partie circulaire BC de centre $I$ et de rayon $r = 0,5\text{ m}$.

1. Le point matériel S est lancé du point A avec une vitesse $v_A = 6\text{ m/s}$. Il arrive au point B avec une vitesse nulle. Calculer la distance AB sachant que le point matériel est soumis à une force $\vec{f}$ parallèle et de sens contraire à celui de sa vitesse à chaque instant, d'intensité constante $f = 10^{-2}\text{ N}$.

2. On néglige les frottements sur la partie circulaire BC. Calculer la vitesse $v_C$ de S au point C.

3. Le point matériel quitte le point C avec la vitesse $v_C$. Calculer la vitesse $v_D$ du point matériel au point D.

Donnée : $g = 10\text{ N/kg}$

Point matériel sur piste - Mouvement avec frottement

Calculer la distance AB.

✅ Solution

Étape 1 : Bilan des forces sur AB :

$\vec{P}$ : Poids (vertical vers le bas)
$\vec{R}$ : Réaction normale
$\vec{f}$ : Frottement (parallèle à la pente, opposé au mouvement)

Étape 2 : Application du théorème de l'énergie cinétique entre A et B :

$$\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = W_{A\to B}(\vec{P}) + W_{A\to B}(\vec{R}) + W_{A\to B}(\vec{f})$$

Étape 3 : Avec $v_B = 0$, $W(\vec{R}) = 0$ :

$$-\frac{1}{2} m v_A^2 = -m \cdot g \cdot AB \cdot \sin\alpha - f \cdot AB$$ $$\frac{1}{2} m v_A^2 = AB(m \cdot g \cdot \sin\alpha + f)$$

Étape 4 : On isole $AB$ :

$$AB = \frac{m v_A^2}{2(m \cdot g \cdot \sin\alpha + f)}$$

Étape 5 : Application numérique :

$$AB = \frac{50 \times 10^{-3} \times 6^2}{2 \times (50 \times 10^{-3} \times 10 \times \sin(60^\circ) + 10^{-2})}$$ $$AB = \frac{50 \times 10^{-3} \times 36}{2 \times (0,5 \times 0,866 + 0,01)}$$ $$AB = \frac{1,8}{2 \times (0,433 + 0,01)} = \frac{1,8}{0,886} \approx 2,03\text{ m}$$

Réponse
                                    $$AB \approx 2,03\text{ m}$$
                                

Calculer la vitesse $v_C$.

✅ Solution

Étape 1 : Sur BC, on néglige les frottements. La seule force qui travaille est le poids.
On applique le théorème de l'énergie cinétique entre B et C :

$$\Delta E_c = E_{cC} - E_{cB} = W_{B\to C}(\vec{P}) + W_{B\to C}(\vec{R})$$

Étape 2 : Avec $v_B = 0$ et $W(\vec{R}) = 0$ :

$$\frac{1}{2} m v_C^2 = m \cdot g \cdot r$$ $$v_C^2 = 2g \cdot r$$

Étape 3 : Application numérique :

$$v_C = \sqrt{2 \times 10 \times 0,5} = \sqrt{10} \approx 3,16\text{ m/s}$$

Réponse
                                    $$v_C \approx 3,16\text{ m/s}$$
                                

Calculer la vitesse $v_D$.

✅ Solution

Étape 1 : Entre C et D, le solide est en chute libre (seul le poids travaille).
On applique le théorème de l'énergie cinétique entre C et D :

$$\Delta E_c = E_{cD} - E_{cC} = W_{C\to D}(\vec{P})$$ $$\frac{1}{2} m v_D^2 - \frac{1}{2} m v_C^2 = m \cdot g \cdot (z_C - z_D)$$

Étape 2 : La dénivellation entre C et D :

$$z_C - z_D = h - r = AB \cdot \sin\alpha - r$$

Étape 3 : On isole $v_D$ :

$$v_D^2 = 2g(AB \cdot \sin\alpha - r) + v_C^2$$

Étape 4 : Application numérique :

$$v_D^2 = 2 \times 10 \times (2,03 \times \sin(60^\circ) - 0,5) + (3,16)^2$$ $$v_D^2 = 20 \times (2,03 \times 0,866 - 0,5) + 10$$ $$v_D^2 = 20 \times (1,758 - 0,5) + 10 = 20 \times 1,258 + 10 = 25,16 + 10 = 35,16$$ $$v_D = \sqrt{35,16} \approx 5,93\text{ m/s}$$

Réponse
                                    $$v_D \approx 5,93\text{ m/s}$$
                                

Exercice 7 Exercice 9