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Exercice 9

Poulie - Force de traction Niveau : Difficile

1 Énoncé

Un solide S de masse $m = 100\text{ kg}$ est attaché par un fil enroulé sur la gorge d'une poulie. À son autre extrémité, on applique une force $\vec{F}$ horizontale de valeur constante.

Données : $g = 9,81\text{ N.kg}^{-1}$

La poulie est homogène de rayon $R = 10\text{ cm}$, peut tourner sans frottement autour de son axe de rotation $\Delta$ et a un moment d'inertie $J_{\Delta} = 5 \times 10^{-3}\text{ kg.m}^{2}$.

Le solide à l'instant $t = 0$ a une vitesse nulle. On applique la force $\vec{F}$, à l'instant $t$ sa vitesse est $v = 4\text{ m.s}^{-1}$, à la hauteur $h = 5\text{ m}$.

1. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique au solide S entre les deux instants $t = 0$ et $t$ (instant final). Calculer la valeur de la force qu'applique le fil sur le solide $T$.

2. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique à la poulie entre les deux instants $t = 0$ et $t$. Calculer la valeur de la force $\vec{F}$.

Poulie - Solide attaché par un fil

Calculer la force de tension $T$ du fil.

✅ Solution

Étape 1 : Système étudié : le solide S.
Forces exercées : $\vec{P}$ (poids) et $\vec{T}$ (tension du fil).

Étape 2 : Application du théorème de l'énergie cinétique entre l'instant initial (A) et final (B) :

$$\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = W_{A\to B}(\vec{P}) + W_{A\to B}(\vec{T})$$ $$\frac{1}{2} m v^2 - 0 = -m \cdot g \cdot h + T \cdot h$$

Étape 3 : On isole $T$ :

$$T \cdot h = \frac{1}{2} m v^2 + m \cdot g \cdot h$$ $$T = m \left(\frac{v^2}{2h} + g\right)$$

Étape 4 : Application numérique :

$$T = 100 \times \left(\frac{4^2}{2 \times 5} + 9,81\right) = 100 \times \left(\frac{16}{10} + 9,81\right)$$ $$T = 100 \times (1,6 + 9,81) = 100 \times 11,41 = 1141\text{ N}$$

Réponse
                                    $$T = 1141\text{ N}$$
                                

Calculer la valeur de la force $\vec{F}$.

✅ Solution

Étape 1 : Système étudié : la poulie.
Forces qui travaillent : $\vec{T}$ (tension du fil) et $\vec{F}$ (force appliquée).

Étape 2 : Application du théorème de l'énergie cinétique à la poulie :

$$\Delta E_c = E_{cf} - E_{ci} = W(\vec{P}) + W(\vec{R}) + W(\vec{F}) + W(\vec{T})$$ $$\frac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2 - 0 = 0 + 0 + F \cdot h - T' \cdot h$$

Avec $T' = T$ (même tension dans le fil) et $h = R \cdot \Delta\theta$

Étape 3 : La vitesse angulaire est liée à la vitesse linéaire par :

$$\omega = \frac{v}{R} = \frac{4}{0,10} = 40\text{ rad/s}$$

Étape 4 : On isole $F$ :

$$\frac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2 = h \cdot (F - T)$$ $$F = T + \frac{J_{\Delta} \cdot \omega^2}{2h} = T + \frac{J_{\Delta} \cdot v^2}{2R^2 \cdot h}$$

Étape 5 : Application numérique :

$$F = 1141 + \frac{5 \times 10^{-3} \times 4^2}{2 \times (0,10)^2 \times 5}$$ $$F = 1141 + \frac{5 \times 10^{-3} \times 16}{2 \times 0,01 \times 5} = 1141 + \frac{0,08}{0,1}$$ $$F = 1141 + 0,8 = 1141,8\text{ N} \approx 1142\text{ N}$$

Réponse
                                    $$F \approx 1142\text{ N}$$
                                

Remarque

La force $F$ est légèrement supérieure à $T$ car une partie de l'énergie sert à mettre la poulie en rotation (énergie cinétique de rotation).

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