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Exercice 8

Solide glissant sur un plan incliné Niveau : Difficile

1 Énoncé

Un solide de masse \(m = 5\text{ kg}\) glisse sans frottement sur un plan incliné d'angle \(\alpha = 15^\circ\) par rapport à l'horizontale. Il est entraîné à vitesse constante par un câble faisant un angle \(\beta = 20^\circ\) avec la ligne de plus grande pente du plan incliné.

1. Déterminer la tension du fil de traction \(T\).

2. Déterminer la réaction du plan incliné \(R\).

Donnée : \(g = 9,81\text{ N.kg}^{-1}\)

Solide glissant sur un plan incliné - Sans frottement

1.

Déterminer la tension du fil de traction \(T\).

✅ Solution
Étape 1 : Le système est soumis à trois forces extérieures :
  • \(\vec{P}\) : Poids (vertical vers le bas).
  • \(\vec{R}\) : Réaction normale (perpendiculaire au plan).
  • \(\vec{T}\) : Tension du câble (oblique, angle \(\beta\) avec la pente).

Il n'y a pas de frottement (énoncé).

Étape 2 : Le mouvement est rectiligne uniforme, donc :
$$\vec{P} + \vec{R} + \vec{T} = \vec{0}$$
Étape 3 : Projection sur l'axe des \(x\) (parallèle à la pente, vers le haut) :
$$-P\sin\alpha + T\cos\beta = 0$$ $$T\cos\beta = P\sin\alpha = m \cdot g \cdot \sin\alpha$$ $$T = \frac{m \cdot g \cdot \sin\alpha}{\cos\beta}$$
Étape 4 : Application numérique :
$$T = \frac{5,0 \times 9,81 \times \sin(15^\circ)}{\cos(20^\circ)}$$ $$T = \frac{5,0 \times 9,81 \times 0,259}{0,940}$$ $$T = \frac{12,70}{0,940} \approx 13,5\text{ N}$$
Réponse
$$T \approx 13,5\text{ N}$$
2.

Déterminer la réaction du plan incliné \(R\).

✅ Solution
Étape 1 : Projection sur l'axe des \(y\) (perpendiculaire à la pente, vers le haut) :
$$-P\cos\alpha + R + T\sin\beta = 0$$ $$R = P\cos\alpha - T\sin\beta$$ $$R = m \cdot g \cdot \cos\alpha - T\sin\beta$$
Étape 2 : Application numérique avec \(T = 13,5\text{ N}\) :
$$R = 5,0 \times 9,81 \times \cos(15^\circ) - 13,5 \times \sin(20^\circ)$$ $$R = 49,05 \times 0,966 - 13,5 \times 0,342$$ $$R = 47,38 - 4,62 \approx 42,8\text{ N}$$
Vérification :

On peut aussi calculer \(R\) à partir de la projection sur \(y\) avec \(P_y\) :

$$R = P\cos\alpha - T\sin\beta \approx 42,8\text{ N}$$
Réponse
$$R \approx 42,8\text{ N}$$
Remarque

Comme le câble est incliné vers le haut par rapport au plan, la composante verticale de \(T\) diminue la valeur de \(R\) par rapport au cas sans traction (\(R = P\cos\alpha = 47,4\text{ N}\)).

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