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Exercice 7

Skieur tracté par une perche Niveau : Moyen

1 Énoncé

Un skieur de masse $m = 80\text{ kg}$ avec son équipement est tiré par une remonte-pente.

Pendant le trajet sur un plan incliné de $\alpha = 20^\circ$ par rapport à l'horizontale, la valeur moyenne des forces de frottements est $f = 40\text{ N}$. La perche exerce sur le skieur une force $\vec{F}$, sous un angle de $\beta = 15^\circ$ par rapport à la pente. Le skieur monte à la vitesse constante dans un référentiel terrestre.

1. Représenter les forces extérieures exercées sur le skieur.

2. Déterminer la valeur de la force exercée $\vec{F}$ par la perche sur le skieur. En déduire le travail de la force $\vec{F}$ pendant un déplacement $AB = 100\text{ m}$.

3. Déterminer la valeur de la force normale de réaction du sol $R$ sur le skieur.

Donnée : $g = 9,81\text{ N.kg}^{-1}$

Skieur tracté par une perche sur un plan incliné

Représenter les forces extérieures exercées sur le skieur.

✅ Solution

Bilan des forces :

$\vec{P}$ : Poids du skieur (vertical vers le bas).
$\vec{f}$ : Force de frottement (parallèle à la pente, vers le bas).
$\vec{R}$ : Réaction normale du sol (perpendiculaire à la pente, vers le haut).
$\vec{F}$ : Force exercée par la perche (angle $\beta$ avec la pente).

Déterminer $F$ et le travail de $\vec{F}$ pour $AB = 100\text{ m}$.

✅ Solution

Étape 1 : La vitesse est constante, donc d'après le principe d'inertie :

$$\vec{P} + \vec{f} + \vec{R} + \vec{F} = \vec{0}$$

Étape 2 : Projection sur l'axe des $x$ (parallèle à la pente) :

$$-P\sin\alpha - f + F\cos\beta = 0$$ $$F\cos\beta = P\sin\alpha + f$$ $$F = \frac{m \cdot g \cdot \sin\alpha + f}{\cos\beta}$$

Étape 3 : Application numérique :

$$F = \frac{80,0 \times 9,81 \times \sin(20^\circ) + 40,0}{\cos(15^\circ)}$$ $$F = \frac{80,0 \times 9,81 \times 0,342 + 40,0}{0,966}$$ $$F = \frac{268,4 + 40,0}{0,966} = \frac{308,4}{0,966} \approx 319\text{ N}$$

Étape 4 : Travail de la force $\vec{F}$ :

$$W_{A\to B}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos\beta$$ $$W_{A\to B}(\vec{F}) = 319 \times 100 \times \cos(15^\circ)$$ $$W_{A\to B}(\vec{F}) = 31900 \times 0,966 \approx 30800\text{ J}$$

Réponse
                                    $$F \approx 319\text{ N} \quad ; \quad W(\vec{F}) \approx 30,8\text{ kJ}$$
                                

Déterminer la valeur de la réaction normale $R$.

✅ Solution

Étape 1 : Projection sur l'axe des $y$ (perpendiculaire à la pente) :

$$-P\cos\alpha + R + F\sin\beta = 0$$ $$R = P\cos\alpha - F\sin\beta$$ $$R = m \cdot g \cdot \cos\alpha - F\sin\beta$$

Étape 2 : Application numérique :

$$R = 80,0 \times 9,81 \times \cos(20^\circ) - 319 \times \sin(15^\circ)$$ $$R = 784,8 \times 0,940 - 319 \times 0,259$$ $$R = 737,7 - 82,6 \approx 655\text{ N}$$

Réponse
                                    $$R \approx 655\text{ N}$$
                                

Exercice 6 Exercice 8