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Résumé complet : Travail - Énergie potentielle - Énergie mécanique

Table des matières

1 Énergie potentielle de pesanteur

📌 Définition

L'énergie potentielle de pesanteur d'un solide est l'énergie que possède ce solide du fait de sa position par rapport à la Terre.

$$E_{pp} = m \cdot g \cdot z + C$$
  • $m$ : masse du solide en kg
  • $g$ : intensité du champ de pesanteur en N/kg
  • $z$ : altitude du centre de gravité en m
  • $C$ : constante en J (dépend du choix de la référence)
📌 Cas particuliers selon l'orientation de l'axe
Orientation de l'axe $Oz$Expression de $E_{pp}$
Vers le haut$E_{pp} = mg(z - z_{ref})$
Vers le bas$E_{pp} = -mg(z - z_{ref})$

$z_{ref}$ : altitude du point où $E_{pp} = 0$ (état de référence).

2 Variation de Epp - État de référence

📌 État de référence

L'état de référence est un état qu'on choisit arbitrairement et pour lequel l'énergie potentielle de pesanteur est nulle.

$$E_{pp}(z_{ref}) = 0$$
  • Si $z > z_{ref}$ : $E_{pp} > 0$
  • Si $z < z_{ref}$ : $E_{pp} < 0$
  • Si $z = z_{ref}$ : $E_{pp} = 0$

Seule la variation de $E_{pp}$ dépend du choix de la référence.

📌 Variation de Epp
$$\Delta E_{pp} = E_{pp}(B) - E_{pp}(A) = m \cdot g \cdot (z_B - z_A)$$
  • $\Delta E_{pp} > 0$ : montée (énergie augmente)
  • $\Delta E_{pp} < 0$ : descente (énergie diminue)
  • $\Delta E_{pp} = 0$ : déplacement horizontal

3 Relation $\Delta E_{pp}$ et travail du poids

📌 Relation fondamentale
$$\Delta E_{pp} = -W_{A \to B}(\vec{P})$$
$$W_{A \to B}(\vec{P}) = E_{pp}(A) - E_{pp}(B)$$

Le poids est une force conservative.

📌 Exemple

Un objet tombe de A ($z_A = 5\text{ m}$) à B ($z_B = 2\text{ m}$), $m = 2\text{ kg}$, $g = 10\text{ N/kg}$.

$\Delta E_{pp} = 2 \times 10 \times (2 - 5) = -60\text{ J}$
$W_{A \to B}(\vec{P}) = 60\text{ J}$ (travail moteur)

4 Énergie mécanique - Conservation

📌 Définition
$$E_m = E_c + E_{pp}$$
  • Translation : $E_m = \frac{1}{2} m v^2 + m \cdot g \cdot z + C$
  • Rotation : $E_m = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega^2 + m \cdot g \cdot z + C$
📌 Conservation de Em

En l'absence de frottements (forces conservatives) :

$$E_m = \text{constante} \quad \Rightarrow \quad \Delta E_m = 0$$
  • Transformation $E_{pp} \leftrightarrow E_c$
  • L'énergie mécanique se conserve
📌 Conditions de conservation
  • Le système n'est soumis qu'à des forces conservatives.
  • Les frottements sont négligeables.
  • Le travail des forces non conservatives est nul.

5 Non conservation - Frottements - Énergie thermique

📌 Cas avec frottements
$$\Delta E_m = W_{A \to B}(\text{forces non conservatives})$$
$$\Delta E_m = W_{A \to B}(\vec{f}) = -f \cdot AB < 0$$

L'énergie mécanique diminue en présence de frottements.

📌 Énergie thermique Q
$$Q = -\Delta E_m = f \cdot AB$$
  • $Q > 0$ : énergie thermique produite
  • Unité : joule (J)
  • L'énergie mécanique perdue est convertie en chaleur
📌 Exemple

$\Delta E_m = -3\text{ J}$ $\Rightarrow$ $Q = 3\text{ J}$ (énergie thermique produite).

Les frottements provoquent un échauffement du système.

6 Tableau récapitulatif

GrandeurSymboleFormuleUnité
Énergie potentielle$E_{pp}$$E_{pp} = m \cdot g \cdot z + C$J
Variation de Epp$\Delta E_{pp}$$\Delta E_{pp} = m \cdot g \cdot (z_B - z_A)$J
Travail du poids$W(\vec{P})$$W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot (z_A - z_B)$J
Relation-$\Delta E_{pp} = -W(\vec{P})$-
Énergie mécanique$E_m$$E_m = E_c + E_{pp}$J
Conservation-$\Delta E_m = 0$ (sans frottement)-
Non conservation-$\Delta E_m = W(\vec{f}) = -f \cdot AB$J
Énergie thermique$Q$$Q = -\Delta E_m = f \cdot AB$J
À retenir
  • $E_{pp}$ : énergie liée à la position (altitude).
  • $E_c$ : énergie liée au mouvement (vitesse).
  • $E_m = E_c + E_{pp}$ : énergie totale du système.
  • En l'absence de frottement : $E_m$ se conserve.
  • En présence de frottement : $E_m$ diminue et se convertit en chaleur $Q$.
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