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Partie 5 : Exercices résolus

Énergie potentielle - Mécanique 6 exercices

Table des matières

1 Énergie potentielle de pesanteur

📝 Exercice 1

Un parachutiste de masse $m = 70\text{ kg}$ est largué à $1500\text{ m}$ d'altitude et attire sur le sol, au niveau de la mer. On donne : $g = 9.80\text{ N/kg}$, l'axe $Oz$ est orienté vers le haut.

1) Donner l'expression de l'énergie potentielle en choisissant les états de référence suivants :
a) Le niveau du sol.
b) Le niveau de l'avion ($z = 1500\text{ m}$).

2) Calculer la variation $\Delta E_{pp}$ dans chacun des cas.

1) Expression de Epp :

a) Référence au sol : $z_{ref} = 0$ ⇒ $E_{pp} = m \cdot g \cdot z$
b) Référence à l'avion : $z_{ref} = 1500\text{ m}$ ⇒ $E_{pp} = m \cdot g \cdot (z - 1500)$

2) Variation $\Delta E_{pp}$ :

1 : $\Delta E_{pp} = m \cdot g \cdot (z_B - z_A)$
2 : $z_A = 1500\text{ m}$, $z_B = 0$ (sol)
3 : $\Delta E_{pp} = 70 \times 9.80 \times (0 - 1500) = -1\,029\,000\text{ J} = -1.029 \times 10^6\text{ J}$

Conclusion : $\Delta E_{pp} = -1.03 \times 10^6\text{ J}$ (indépendant de la référence)

2 Relation $\Delta E_{pp}$ et travail du poids

📝 Exercice 2

Un objet de masse $m = 2.5\text{ kg}$ est lâché d'une hauteur $h = 8\text{ m}$. On prend $g = 10\text{ N/kg}$.

1) Calculer la variation de l'énergie potentielle $\Delta E_{pp}$.

2) En déduire le travail du poids $W(\vec{P})$ lors de la chute.

1) Variation de Epp :

1 : $\Delta E_{pp} = m \cdot g \cdot (z_B - z_A)$
2 : $z_A = h = 8\text{ m}$, $z_B = 0$
3 : $\Delta E_{pp} = 2.5 \times 10 \times (0 - 8) = -200\text{ J}$

2) Travail du poids :

1 : $W_{A \to B}(\vec{P}) = -\Delta E_{pp}$
2 : $W_{A \to B}(\vec{P}) = -(-200) = 200\text{ J}$

Résultat : $W(\vec{P}) = 200\text{ J}$ (travail moteur)

3 Conservation de l'énergie mécanique

📝 Exercice 3

Un objet de masse $m = 0.5\text{ kg}$ est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $v_0 = 10\text{ m/s}$. On néglige les frottements et on prend $g = 10\text{ N/kg}$.

1) Calculer l'énergie mécanique initiale.

2) Déterminer la hauteur maximale atteinte.

1) Énergie mécanique initiale :

1 : $E_m = E_c + E_{pp}$
2 : À l'instant initial : $z_0 = 0$ ⇒ $E_{pp} = 0$
3 : $E_m = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 10^2 = 25\text{ J}$

2) Hauteur maximale :

1 : Au point le plus haut : $v = 0$ ⇒ $E_c = 0$
2 : Conservation de $E_m$ : $E_m = E_{pp} = m \cdot g \cdot h_{max}$
3 : $25 = 0.5 \times 10 \times h_{max}$
4 : $h_{max} = \frac{25}{5} = 5\text{ m}$

Résultat : $h_{max} = 5\text{ m}$

Lancer vertical : conservation de Em

4 Non conservation - Frottements

📝 Exercice 4

Un corps solide (S) de masse $m = 0.4\text{ kg}$ glisse sur un plan incliné $AB$ de longueur $L = 1.2\text{ m}$, d'angle $\alpha = 30^\circ$ par rapport à l'horizontale. Le solide part du point A avec une vitesse $v_A = 2\text{ m/s}$ et passe par le point B avec une vitesse $v_B = 1\text{ m/s}$.

1) Calculer la variation de l'énergie mécanique $\Delta E_m$.

2) En déduire le travail des forces de frottement.

1) Variation de Em :

1 : $\Delta E_c = \frac{1}{2} m (v_B^2 - v_A^2) = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (1 - 4) = -0.6\text{ J}$
2 : $h = L \cdot \sin\alpha = 1.2 \times 0.5 = 0.6\text{ m}$
3 : $\Delta E_{pp} = m \cdot g \cdot (z_B - z_A) = -m \cdot g \cdot h = -0.4 \times 10 \times 0.6 = -2.4\text{ J}$
4 : $\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_{pp} = -0.6 - 2.4 = -3\text{ J}$

2) Travail des frottements :

1 : $\Delta E_m = W_{A \to B}(\vec{f})$
2 : $W_{A \to B}(\vec{f}) = -3\text{ J}$

Résultat : $W(\vec{f}) = -3\text{ J}$ (travail résistant)

Plan incliné avec frottement

5 Attraction - Boucle circulaire

📝 Exercice 5

Une attraction foraine est constituée d'un rail comportant une boucle circulaire de rayon $R = 1\text{ m}$. Un palet de masse $m = 150\text{ g}$ peut glisser sans frottement sur le rail. On prend $g = 10\text{ N/kg}$.

1) Quelle est l'expression générale de l'énergie mécanique du palet ?

2) Avec quelle vitesse minimale doit-on lancer le palet sur la partie horizontale du rail afin qu'il effectue une boucle ?

1) Expression de Em :

1 : $E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2} m v^2 + m \cdot g \cdot z$

2) Vitesse minimale :

1 : Au sommet de la boucle : $v_{min} = \sqrt{R \cdot g} = \sqrt{1 \times 10} = \sqrt{10}\text{ m/s}$
2 : Au sommet : $z = 2R = 2\text{ m}$
3 : Conservation de Em : $E_m(0) = E_m(sommet)$
4 : $\frac{1}{2} m v_0^2 + 0 = \frac{1}{2} m (\sqrt{10})^2 + m \cdot g \cdot 2R$
5 : $\frac{1}{2} v_0^2 = \frac{1}{2} \times 10 + 10 \times 2 = 5 + 20 = 25$
6 : $v_0^2 = 50 \Rightarrow v_0 = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07\text{ m/s}$

Résultat : $v_0 = 5\sqrt{2}\text{ m/s} \approx 7.07\text{ m/s}$

Boucle circulaire

6 Énergie thermique Q

📝 Exercice 6

Un solide glisse sur une piste horizontale de longueur $d = 2\text{ m}$. La force de frottement est constante de norme $f = 1.5\text{ N}$.

1) Calculer le travail des forces de frottement.

2) En déduire l'énergie thermique $Q$ produite.

1) Travail des frottements :

1 : $W(\vec{f}) = -f \cdot d$
2 : $W(\vec{f}) = -1.5 \times 2 = -3\text{ J}$

2) Énergie thermique Q :

1 : $Q = -\Delta E_m = -W(\vec{f})$
2 : $Q = -(-3) = 3\text{ J}$

Résultat : $Q = 3\text{ J}$ (énergie thermique produite)

Conversion en énergie thermique

Partie 4 Résumé