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Partie 2 : Abscisse angulaire - Abscisse curviligne

Table des matières

1 Abscisse angulaire

Définition

On appelle abscisse angulaire du point M à un instant t la valeur algébrique de l'angle :

$$\theta = (\overrightarrow{OM_0}, \overrightarrow{OM})$$

Abscisse angulaire θ = angle (OM₀, OM)

Remarques
  • L'unité de l'abscisse angulaire est le radian (rad).
  • θ est une grandeur algébrique : son signe dépend du sens de parcours choisi.
  • Si le point M tourne dans le sens direct (trigonométrique), θ est positif.
  • Si le point M tourne dans le sens indirect (horaire), θ est négatif.

2 Abscisse curviligne

Définition

On appelle abscisse curviligne du point mobile M à un instant t la valeur algébrique de l'arc :

$$s = \overset{\frown}{M_0M}$$
Remarques
  • L'unité de l'abscisse curviligne est le mètre (m).
  • s est une grandeur algébrique.
  • Le signe de s dépend de l'orientation de la trajectoire.
  • Si le point M parcourt l'arc dans le sens positif, s est positif.
  • Si le point M parcourt l'arc dans le sens négatif, s est négatif.

Abscisse curviligne s = arc M₀M

3 Relation entre l'abscisse curviligne et l'abscisse angulaire

Propriété

L'abscisse curviligne et l'abscisse angulaire sont proportionnelles :

$$s = r \cdot \theta$$

où $r$ est le rayon de la trajectoire circulaire (distance du point M à l'axe $(\Delta)$).

Démonstration

Pour un arc de cercle de rayon r et d'angle $\theta$ (en radians) :

$$s = r \times \theta$$

(C'est la définition du radian : la longueur de l'arc divisée par le rayon)

📝 Exemple

Un point M tourne sur un cercle de rayon $r = 2.5\text{ cm}$. Si l'angle de rotation est $\theta = \frac{\pi}{3}\text{ rad}$ :

$$s = r \cdot \theta = 2.5 \times \frac{\pi}{3} = 2.62\text{ cm}$$
À retenir
  • $s$ et $\theta$ sont proportionnelles.
  • Le coefficient de proportionnalité est le rayon $r$.
  • La relation $s = r \cdot \theta$ est valable uniquement si $\theta$ est en radians.
Résumé
GrandeurSymboleUnité
Abscisse angulaire$\theta$radian (rad)
Abscisse curviligne$s$mètre (m)
Rayon$r$mètre (m)
Relation : $s = r \cdot \theta$
Partie 1 Partie 3