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Partie 4 : Période - Fréquence - Mouvement de rotation uniforme

Table des matières

1 La période

Définition

La période $T$ d'un mouvement de rotation uniforme est la durée d'un tour.

Relation

Pour un tour complet, l'angle de rotation est $\Delta \theta = 2\pi$ et la durée est $T$ :

$$2\pi = \omega \cdot T \quad \Rightarrow \quad T = \frac{2\pi}{\omega}$$

avec $T$ en secondes (s) et $\omega$ en rad/s.

📝 Exemple

Un disque tourne avec une vitesse angulaire $\omega = 10\text{ rad/s}$. Sa période est :

$$T = \frac{2\pi}{10} = 0.628\text{ s}$$

Le disque fait un tour complet en $0.628$ secondes.

Période T : durée d'un tour complet

2 La fréquence

Définition

La fréquence $f$ d'un mouvement de rotation uniforme est le nombre de tours par seconde.

Relation
$$f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$$

avec $f$ en hertz (Hz), $T$ en secondes (s) et $\omega$ en rad/s.

📝 Exemple

Un moteur tourne avec une période $T = 0.02\text{ s}$. Sa fréquence est :

$$f = \frac{1}{0.02} = 50\text{ Hz}$$

Le moteur fait 50 tours par seconde.

📐 Conversion des unités de vitesse angulaire

La vitesse angulaire $\omega$ peut être exprimée en tours par seconde (tr/s) ou tours par minute (tr/min) :

$$1\text{ tr/s} = 2\pi\text{ rad/s}$$
$$1\text{ tr/min} = \frac{2\pi}{60}\text{ rad/s}$$

Exemple : $300\text{ tr/min} = 300 \times \frac{2\pi}{60} = 31.4\text{ rad/s}$

3 Mouvement de rotation uniforme

Définition

Un mouvement de rotation est dit uniforme si la vitesse angulaire $\omega$ est constante.

Caractéristiques
  • $\omega = \text{constante}$
  • La période $T$ est constante
  • La fréquence $f$ est constante
  • L'abscisse angulaire $\theta$ varie linéairement avec le temps
Équation horaire en abscisse angulaire

Pour un mouvement de rotation uniforme :

$$\theta = \omega \cdot (t - t_0) + \theta_0$$

Si l'origine des temps est $t_0 = 0$ : $\theta = \omega \cdot t + \theta_0$

Équation horaire en abscisse curviligne
$$s = v \cdot (t - t_0) + s_0$$

avec $v = r \cdot \omega$ et $s_0 = r \cdot \theta_0$

θ = f(t) pour un mouvement de rotation uniforme

📝 Exemple

Un point M tourne uniformément avec $\omega = 2\text{ rad/s}$. À $t = 0$, $\theta_0 = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$.

L'équation horaire est :

$$\theta = 2t + \frac{\pi}{4}$$

À $t = 3\text{ s}$ : $\theta = 2 \times 3 + \frac{\pi}{4} = 6 + 0.785 = 6.785\text{ rad}$

Résumé
GrandeurSymboleUnitéFormule
Période$T$s$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$
Fréquence$f$Hz$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$
Équation horaire (θ)$\theta(t)$rad$\theta = \omega t + \theta_0$
Équation horaire (s)$s(t)$m$s = v t + s_0$
Partie 3 Partie 5