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Partie 5 : Équation horaire - Applications

Table des matières

1 Équation horaire d'un mouvement de rotation uniforme

Définition

L'équation horaire d'un mouvement de rotation uniforme relie l'abscisse angulaire $\theta$ au temps $t$.

Équation horaire en abscisse angulaire
$$\theta = \omega \cdot (t - t_0) + \theta_0$$

Si $t_0 = 0$ (origine des temps) : $\theta = \omega \cdot t + \theta_0$

Équation horaire en abscisse curviligne
$$s = v \cdot (t - t_0) + s_0$$

Si $t_0 = 0$ : $s = v \cdot t + s_0$ avec $v = r \cdot \omega$ et $s_0 = r \cdot \theta_0$

Remarques
  • Les courbes $\theta = f(t)$ et $s = f(t)$ sont des fonctions affines (droites).
  • Le coefficient directeur est la vitesse ($\omega$ ou $v$).
  • L'ordonnée à l'origine est la position initiale ($\theta_0$ ou $s_0$).

θ = f(t) : droite affine

📝 Exemple

Un disque tourne uniformément. À $t = 0$, $\theta_0 = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$. À $t = 2\text{ s}$, $\theta = \frac{5\pi}{4}\text{ rad}$.

1. Calcul de $\omega$ :

$$\omega = \frac{\theta - \theta_0}{t - t_0} = \frac{\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4}}{2 - 0} = \frac{\pi}{2} = 1.57\text{ rad/s}$$

2. Équation horaire :

$$\theta = 1.57 \cdot t + \frac{\pi}{4}$$

2 Applications - Activité

🎯 Activité

La figure suivante représente l'enregistrement du mouvement d'un point M situé au centre d'un autoporteur en rotation autour d'un axe fixe. L'intervalle de temps entre deux enregistrements consécutifs est $\Delta t = 40\text{ ms}$.

Enregistrement du mouvement de rotation

Question 1

Montrer que le mouvement de M est circulaire uniforme.

Solution
  • La trajectoire du point M est circulaire (cercle centré sur l'axe).
  • La distance entre deux points consécutifs est constante.
  • Donc le mouvement est circulaire uniforme.
Position$M_0$$M_1$$M_2$$M_3$$M_4$$M_5$$M_6$
$t\text{ (ms)}$$-80$$-40$$0$$40$$80$$120$$160$
$\theta\text{ (rad)}$$0$$\frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{3}$$\frac{\pi}{2}$$\frac{2\pi}{3}$$\frac{5\pi}{6}$$\pi$
$s\text{ (cm)}$$0$$1.31$$2.62$$3.93$$5.24$$6.55$$7.85$

($r = 2.5\text{ cm}$)

Question 2

Déterminer la vitesse angulaire $\omega$ et la vitesse linéaire $v$ du point M.

Solution
Étape 1 : Calcul de $\omega$ :
$$\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{\theta_2 - \theta_0}{t_2 - t_0} = \frac{\frac{\pi}{3} - 0}{0 - (-80) \times 10^{-3}} = \frac{\pi/3}{0.08} = 13.09\text{ rad/s}$$
Étape 2 : Calcul de $v$ :
$$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_2 - s_0}{t_2 - t_0} = \frac{2.62 \times 10^{-2} - 0}{0.08} = 0.33\text{ m/s}$$
Étape 3 : Vérification de $v = r \cdot \omega$ :
$$r \cdot \omega = 2.5 \times 10^{-2} \times 13.09 = 0.33\text{ m/s} = v \quad \checkmark$$
Conclusion

$\omega = 13.09\text{ rad/s}$ et $v = 0.33\text{ m/s}$

La relation $v = r \cdot \omega$ est vérifiée.

Question 3

Déterminer l'équation horaire du mouvement $\theta = f(t)$.

Solution
Étape 1 : La courbe $\theta = f(t)$ est une droite affine :
$$\theta = \omega \cdot t + \theta_0$$
Étape 2 : À $t = 0$, $\theta_0 = \frac{\pi}{3}\text{ rad}$
Étape 3 : $\omega = 13.09\text{ rad/s}$
Étape 4 : L'équation horaire est :
$$\theta = 13.09 \cdot t + \frac{\pi}{3}$$
Étape 5 : De même, l'équation horaire en abscisse curviligne :
$$s = 0.33 \cdot t + 2.62 \times 10^{-2}\text{ m}$$

θ = 13.09·t + π/3

3 Résumé des formules

GrandeurSymboleFormuleUnité
Vitesse angulaire$\omega$$\omega = \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}$rad/s
Vitesse linéaire$v$$v = r \cdot \omega$m/s
Période$T$$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$s
Fréquence$f$$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$Hz
Équation horaire (θ)$\theta(t)$$\theta = \omega t + \theta_0$rad
Équation horaire (s)$s(t)$$s = v t + s_0$m
Relation-$s = r \cdot \theta$-
Conversions
  • $1\text{ tr/s} = 2\pi\text{ rad/s}$
  • $1\text{ tr/min} = \dfrac{2\pi}{60}\text{ rad/s}$
Partie 4 Résumé