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Résumé complet : Rotation d'un solide autour d'un axe fixe

Table des matières

1 Définition - Repérage

📌 Définition

Un solide possède un mouvement de rotation autour d'un axe fixe $(\Delta)$ si :

  • Tous les points du solide décrivent des trajectoires circulaires centrées sur l'axe de rotation.
  • Sauf les points qui appartiennent à cet axe (ils sont immobiles).
📌 Repérage d'un point

La position d'un point M est repérée par :

  • Abscisse angulaire : $\theta = (\overrightarrow{OM_0}, \overrightarrow{OM})$ en rad
  • Abscisse curviligne : $s = \overset{\frown}{M_0M}$ en m

Repérage d'un point en rotation

2 Abscisse angulaire - Abscisse curviligne

📌 Relation fondamentale
$$s = r \cdot \theta$$

où $r$ est le rayon de la trajectoire circulaire.

📌 Unités
  • $\theta$ : radian (rad)
  • $s$ : mètre (m)
  • $r$ : mètre (m)

3 Vitesse angulaire

📌 Vitesse angulaire moyenne
$$\omega_m = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{\theta_2 - \theta_1}{t_2 - t_1}$$

Unité : rad/s

📌 Vitesse angulaire instantanée
$$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \dot{\theta}$$

Unité : rad/s

📌 Relation v = r · ω
$$v = r \cdot \omega$$

$v$ : vitesse linéaire en m/s

4 Période - Fréquence

📌 Période T
$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

Unité : seconde (s)

La période est la durée d'un tour complet.

📌 Fréquence f
$$f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$$

Unité : hertz (Hz)

La fréquence est le nombre de tours par seconde.

📌 Conversions
$$1\text{ tr/s} = 2\pi\text{ rad/s}$$
$$1\text{ tr/min} = \frac{2\pi}{60}\text{ rad/s}$$

5 Mouvement de rotation uniforme

📌 Définition

Un mouvement de rotation est uniforme si la vitesse angulaire $\omega$ est constante.

📌 Équations horaires
$$\theta = \omega \cdot t + \theta_0$$
$$s = v \cdot t + s_0$$

Les courbes θ = f(t) et s = f(t) sont des droites affines.

6 Tableau récapitulatif

GrandeurSymboleFormuleUnité
Abscisse angulaire$\theta$$\theta = (\overrightarrow{OM_0}, \overrightarrow{OM})$rad
Abscisse curviligne$s$$s = r \cdot \theta$m
Vitesse angulaire moyenne$\omega_m$$\omega_m = \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}$rad/s
Vitesse angulaire instantanée$\omega$$\omega = \dfrac{d\theta}{dt}$rad/s
Vitesse linéaire$v$$v = r \cdot \omega$m/s
Période$T$$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$s
Fréquence$f$$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$Hz
Équation horaire (θ)$\theta(t)$$\theta = \omega t + \theta_0$rad
Équation horaire (s)$s(t)$$s = v t + s_0$m
À retenir
  • La vitesse angulaire est la même pour tous les points du solide.
  • La vitesse linéaire dépend du rayon $r$ : $v = r \cdot \omega$.
  • La relation $s = r \cdot \theta$ est valable uniquement si $\theta$ est en radians.
  • Mouvement uniforme $\iff \omega = \text{constante} \iff \theta = f(t)$ est une droite affine.
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