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Partie 2 : Énergie cinétique d'un solide en rotation

Table des matières

0 Introduction : Le moment d'inertie dans la vie quotidienne

💡 Pour comprendre simplement

Le moment d'inertie, c'est la "résistance" d'un objet à changer sa rotation.

🔄 Exemples dans la vie quotidienne
  • Un patineur artistique :
    Quand il rentre ses bras, il tourne plus vite (moment d'inertie plus petit).
    Quand il écarte les bras, il tourne moins vite (moment d'inertie plus grand).
  • Une porte :
    Il est plus facile de pousser une porte près de la poignée (loin de l'axe) qu'à côté des charnières (près de l'axe).
    La masse est plus éloignée de l'axe → moment d'inertie plus grand.
  • Un volant de voiture :
    Un volant plus lourd et plus large (rayon plus grand) a un plus grand moment d'inertie.
    Il est plus difficile de le faire tourner et de l'arrêter.
  • Une roue de vélo :
    Les rayons et le pneu sont placés loin de l'axe → grand moment d'inertie.
    Une roue plus lourde est plus difficile à faire tourner.
📌 À retenir

Plus la masse est éloignée de l'axe de rotation, plus le moment d'inertie est grand.
Et plus le moment d'inertie est grand, plus il est difficile de faire tourner ou d'arrêter l'objet.

Moment d'inertie : plus la masse est éloignée de l'axe, plus J est grand

1 Démonstration de l'énergie cinétique en rotation

Soit un solide indéformable de masse \(M\) en mouvement de rotation autour d'un axe fixe \((\Delta)\) de vitesse angulaire \(\omega\).

Solide en rotation autour d'un axe fixe (Δ)

Raisonnement

Chaque point \(A_i\) du solide a une masse \(m_i\) et une vitesse linéaire \(v_i\), donc :

$$E_{C_i} = \frac{1}{2} m_i \cdot v_i^2$$

On sait que \(v_i = r_i \cdot \omega\) avec \(r_i\) le rayon de la trajectoire circulaire du point \(A_i\).

$$E_{C_i} = \frac{1}{2} m_i \cdot r_i^2 \cdot \omega^2$$
Énergie cinétique totale

L'énergie cinétique totale du solide est la somme des énergies cinétiques de tous les points :

$$E_C = \sum_{i=1}^{n} E_{C_i} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} m_i \cdot r_i^2 \cdot \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot \omega^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} m_i \cdot r_i^2$$
Définition du moment d'inertie

On pose :

$$J_{\Delta} = \sum_{i=1}^{n} m_i \cdot r_i^2$$

\(J_{\Delta}\) s'appelle le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation \((\Delta)\).

Il dépend de la répartition de la masse autour de l'axe de rotation.

Unité : kg·m²

Résumé de la démonstration
$$E_C = \sum \frac{1}{2} m_i r_i^2 \omega^2 = \frac{1}{2} \omega^2 \sum m_i r_i^2 = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega^2$$

Le moment d'inertie \(J_{\Delta}\) est l'équivalent de la masse \(m\) en rotation.

2 Énergie cinétique d'un solide en rotation

Formule

L'énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe de moment d'inertie \(J_{\Delta}\) et de vitesse angulaire \(\omega\) est :

$$E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega^2$$

$E_C$ : énergie cinétique en Joules (J)
$J_{\Delta}$ : moment d'inertie en kg·m²
$\omega$ : vitesse angulaire en rad/s

Comparaison translation / rotation
TranslationRotation
$E_C = \frac{1}{2} m \cdot V^2$$E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega^2$
$m$ : masse (kg)$J_{\Delta}$ : moment d'inertie (kg·m²)
$V$ : vitesse linéaire (m/s)$\omega$ : vitesse angulaire (rad/s)

Analogies :
• La masse \(m\) en translation est l'équivalent du moment d'inertie \(J_{\Delta}\) en rotation.
• La vitesse \(V\) est l'équivalent de la vitesse angulaire \(\omega\).

📝 Application - Calcul simple

Un disque de moment d'inertie \(J = 0,036\text{ kg·m²}\) tourne à \(\omega = 10,47\text{ rad/s}\).
Calculer son énergie cinétique.

Étape 1 : \(E_C = \frac{1}{2} J \cdot \omega^2\)
Étape 2 : \(E_C = \frac{1}{2} \times 0,036 \times (10,47)^2 = 0,018 \times 109,6 = 1,97\text{ J}\)
✅ \(E_C \approx 1,97\text{ J}\)
💡 Un disque en rotation possède une énergie cinétique due à sa rotation.
Résumé
  • $J_{\Delta} = \sum m_i \cdot r_i^2$ : moment d'inertie
  • $E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega^2$ : énergie cinétique en rotation
  • Le moment d'inertie dépend de la répartition de la masse.
  • Unité de $J_{\Delta}$ : kg·m²

3 Moments d'inertie de quelques solides homogènes

Moments d'inertie de solides homogènes

SolideAxe de rotationMoment d'inertie $J_{\Delta}$Exemple
Anneau (cylindre creux) Axe central $J = m \cdot R^2$ Un cerceau
Cylindre plein (disque) Axe central $J = \frac{1}{2} m \cdot R^2$ Une roue pleine
Sphère pleine Diamètre $J = \frac{2}{5} m \cdot R^2$ Une balle
Sphère creuse Diamètre $J = \frac{2}{3} m \cdot R^2$ Une coquille
Tige (barre) Centre $J = \frac{1}{12} m \cdot L^2$ Une barre
Tige (barre) Extrémité $J = \frac{1}{3} m \cdot L^2$ Un pendule

À retenir : Pour un disque (cylindre plein) de masse \(m\) et de rayon \(R\) :

$$J_{\Delta} = \frac{1}{2} m \cdot R^2$$

C'est le cas d'une roue pleine, d'un volant de machine, etc.

💡 Pourquoi ces formules sont importantes

Ces formules permettent de calculer l'énergie cinétique d'objets en rotation :

  • Une roue de voiture en mouvement
  • Un volant de machine qui tourne
  • Une poulie dans un système mécanique
  • Un patineur qui effectue une pirouette

4 Application détaillée

📝 Application

On considère un disque homogène de masse \(m = 800\text{ g}\) et de rayon \(r = 30\text{ cm}\) tourne à la fréquence \(N = 100\text{ tr/min}\).
Son moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation \((\Delta)\) est \(J_{\Delta} = \frac{1}{2} m \cdot r^2\).

Déterminer l'énergie cinétique du disque.

Étape 1 : Conversion des unités
$m = 800\text{ g} = 0,8\text{ kg}$
$r = 30\text{ cm} = 0,3\text{ m}$
$N = 100\text{ tr/min} = \frac{100}{60} \text{ tr/s} = \frac{5}{3} \text{ tr/s}$
Étape 2 : Calcul de \(\omega\)
$\omega = 2\pi N = 2\pi \times \frac{5}{3} = \frac{10\pi}{3} \approx 10,47\text{ rad/s}$
Étape 3 : Calcul de \(J_{\Delta}\)
$J_{\Delta} = \frac{1}{2} m \cdot r^2 = \frac{1}{2} \times 0,8 \times (0,3)^2 = 0,036\text{ kg·m²}$
Étape 4 : Calcul de \(E_C\)
$E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega^2 = \frac{1}{2} \times 0,036 \times (10,47)^2$
Étape 5 : $E_C = 0,018 \times 109,6 \approx 1,97\text{ J}$
✅ $E_C \approx 1,97\text{ J}$
💡 L'énergie cinétique du disque en rotation est d'environ 2 Joules.
Remarque importante

La variation de l'énergie cinétique en rotation est :

$$\Delta E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega_2^2 - \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega_1^2$$

Cette formule sera utilisée dans le théorème de l'énergie cinétique pour les solides en rotation (Partie 3).

Grandeur Symbole Unité Formule
Moment d'inertie $J_{\Delta}$ kg·m² $J_{\Delta} = \sum m_i r_i^2$
Énergie cinétique (rotation) $E_C$ Joule (J) $E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2$
Vitesse angulaire $\omega$ rad/s $\omega = 2\pi N$
Partie 1 Partie 3