Partie 3 - Travail et énergie cinétique

1 Activité

🎯 Énoncé

On abandonne, sans vitesse initiale, un autoporteur de masse $m = 700\text{ g}$ sur une table à coussin d'air inclinée d'un angle $\alpha = 10^\circ$ par rapport à l'horizontale. On enregistre les positions du centre d'inertie toutes les $\Delta t = 60\text{ ms}$, on obtient l'enregistrement suivant :

Enregistrement des positions de l'autoporteur

$G_0G_1 = 3\text{ mm}$ | $G_1G_2 = 9\text{ mm}$ | $G_2G_3 = 15\text{ mm}$ | $G_3G_4 = 21\text{ mm}$
$G_4G_5 = 27\text{ mm}$ | $G_5G_6 = 33\text{ mm}$ | $G_6G_7 = 39\text{ mm}$

On prend : $g = 9.8\text{ N/kg}$

                    Questions
                    1. Faire le bilan des forces extérieures agissant sur le mobile.
2. Déterminer l'expression du travail de chaque force, quand le centre d'inertie de l'autoporteur se déplace de la position \(G_3\) à la position \(G_5\). Déduire la somme des travaux des forces appliquées sur l'autoporteur entre ces deux positions \(\sum W_{G_3 \to G_5}(\vec{F})\).
3. Calculer l'énergie cinétique de l'autoporteur dans chaque position \(G_3\) et \(G_5\). Et déduire \(\Delta E_C = E_{C5} - E_{C3}\) la variation de l'énergie cinétique de l'autoporteur.
4. Déduire la relation entre \(\Delta E_C\) et \(\sum W_{G_3 \to G_5}(\vec{F})\).

                

2 Correction

Question 1 : Bilan des forces

Bilan des forces

L'autoporteur est soumis à deux forces :

$\vec{P}$ : Poids de l'autoporteur
$\vec{R}$ : Réaction du plan incliné

Forces appliquées sur l'autoporteur

Question 2 : Travail des forces

Correction

Étape 1 : Travail du poids

$$W_{G_3 \to G_5}(\vec{P}) = m \cdot g \cdot G_3G_5 \cdot \sin \alpha$$

$G_3G_5 = G_3G_4 + G_4G_5 = 21 + 27 = 48\text{ mm} = 48 \times 10^{-3}\text{ m}$

$$W_{G_3 \to G_5}(\vec{P}) = 0.7 \times 9.8 \times 48 \times 10^{-3} \times \sin(10^\circ)$$

$$W_{G_3 \to G_5}(\vec{P}) = 0.057\text{ J}$$

Étape 2 : Travail de la réaction

$$W_{G_3 \to G_5}(\vec{R}) = 0 \quad \text{car } \vec{R} \perp \overrightarrow{G_3G_5}$$

Étape 3 : Somme des travaux

$$\sum W_{G_3 \to G_5}(\vec{F}) = W(\vec{P}) + W(\vec{R}) = 0.057 + 0 = 0.057\text{ J}$$

Question 3 : Énergie cinétique

Correction

Étape 1 : Vitesse instantanée en $G_3$

$$V_3 = \frac{G_2G_4}{2\tau} = \frac{36 \times 10^{-3}}{2 \times 60 \times 10^{-3}} = 0.30\text{ m/s}$$

$G_2G_4 = G_2G_3 + G_3G_4 = 15 + 21 = 36\text{ mm}$

Étape 2 : Vitesse instantanée en $G_5$

$$V_5 = \frac{G_4G_6}{2\tau} = \frac{60 \times 10^{-3}}{2 \times 60 \times 10^{-3}} = 0.50\text{ m/s}$$

$G_4G_6 = G_4G_5 + G_5G_6 = 27 + 33 = 60\text{ mm}$

Étape 3 : Énergie cinétique en $G_3$

$$E_{C3} = \frac{1}{2} m \cdot V_3^2 = \frac{1}{2} \times 0.7 \times (0.30)^2 = 0.0315\text{ J}$$

Étape 4 : Énergie cinétique en $G_5$

$$E_{C5} = \frac{1}{2} m \cdot V_5^2 = \frac{1}{2} \times 0.7 \times (0.50)^2 = 0.0875\text{ J}$$

Étape 5 : Variation de l'énergie cinétique

$$\Delta E_C = E_{C5} - E_{C3} = 0.0875 - 0.0315 = 0.056\text{ J}$$

Question 4 : Relation

✅ Conclusion

On constate que :

$$\Delta E_C \approx \sum W_{G_3 \to G_5}(\vec{F})$$

La variation de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces extérieures.

3 Énoncé du théorème de l'énergie cinétique

Théorème

Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique $\Delta E_C$ d'un solide en translation ou en rotation autour d'un axe fixe, entre deux instants $t_1$ et $t_2$, est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.

Formule générale
                        $$\Delta E_C = E_{C2} - E_{C1} = \sum W_{A \to B}(\vec{F}_{ext})$$
                    

                    Cas particuliers
                    Translation :
                                $$\Delta E_C = \frac{1}{2} m \cdot V_2^2 - \frac{1}{2} m \cdot V_1^2$$
                            
Rotation :
                                $$\Delta E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega_2^2 - \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega_1^2$$

                    À retenir
                    Le théorème s'applique dans un référentiel galiléen.
Les forces intérieures ne travaillent pas (pour un solide indéformable).
Le travail total est la somme des travaux de toutes les forces extérieures.

                

Partie 3 : Théorème de l'énergie cinétique - Activité 1

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