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Résumé complet : Travail et énergie cinétique

Table des matières

1 Énergie cinétique d'un solide en translation

📌 Définition

L'énergie cinétique d'un solide est l'énergie qu'il possède du fait de son mouvement.

Elle se note $E_C$, est toujours positive et s'exprime en Joules (J).

📌 Formule
$$E_C = \frac{1}{2} m \cdot V^2$$
  • $E_C$ : énergie cinétique en Joules (J)
  • $m$ : masse en kg
  • $V$ : vitesse en m/s
📌 Propriétés
  • Proportionnelle à la masse $m$
  • Proportionnelle au carré de la vitesse $V^2$
  • Si la vitesse double, $E_C$ est multipliée par 4
  • Dépend du référentiel choisi

$E_C = \frac{1}{2} m \cdot V^2$ (parabole)

2 Énergie cinétique d'un solide en rotation

📌 Moment d'inertie
$$J_{\Delta} = \sum_{i=1}^{n} m_i \cdot r_i^2$$
  • $J_{\Delta}$ : moment d'inertie en kg·m²
  • Dépend de la répartition de la masse autour de l'axe
📌 Formule
$$E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega^2$$
  • $E_C$ : énergie cinétique en Joules (J)
  • $J_{\Delta}$ : moment d'inertie en kg·m²
  • $\omega$ : vitesse angulaire en rad/s
📌 Analogie translation / rotation
TranslationRotation
$E_C = \frac{1}{2} m \cdot V^2$$E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega^2$
$m$ : masse (kg)$J_{\Delta}$ : moment d'inertie (kg·m²)
$V$ : vitesse (m/s)$\omega$ : vitesse angulaire (rad/s)

3 Théorème de l'énergie cinétique

📌 Énoncé

Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique $\Delta E_C$ d'un solide entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures appliquées au solide.

📌 Formule générale
$$\Delta E_C = E_{C2} - E_{C1} = \sum W_{A \to B}(\vec{F}_{ext})$$
📌 Cas particuliers

Translation :

$$\Delta E_C = \frac{1}{2} m \cdot V_2^2 - \frac{1}{2} m \cdot V_1^2$$

Rotation :

$$\Delta E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega_2^2 - \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega_1^2$$
📌 Application : Chute libre

Pour un corps en chute libre :

$$\Delta E_C = W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot h$$

La variation d'énergie cinétique est égale au travail du poids.

v² = 2g·h : relation entre vitesse et hauteur

4 Moments d'inertie des solides homogènes

SolideAxe de rotationMoment d'inertie $J_{\Delta}$
Anneau (cylindre creux)Axe central$J = m \cdot R^2$
Cylindre plein (disque)Axe central$J = \frac{1}{2} m \cdot R^2$
Sphère pleineDiamètre$J = \frac{2}{5} m \cdot R^2$
Sphère creuseDiamètre$J = \frac{2}{3} m \cdot R^2$
Tige (barre)Centre$J = \frac{1}{12} m \cdot L^2$
Tige (barre)Extrémité$J = \frac{1}{3} m \cdot L^2$
À retenir

Le moment d'inertie est l'analogue de la masse en rotation.

Plus la masse est éloignée de l'axe, plus $J$ est grand.

5 Tableau récapitulatif

GrandeurTranslationRotation
Énergie cinétique$E_C = \frac{1}{2} m \cdot V^2$$E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega^2$
Inertie$m$ (masse)$J_{\Delta}$ (moment d'inertie)
Vitesse$V$ (linéaire)$\omega$ (angulaire)
Théorème$\Delta E_C = \sum W(\vec{F}_{ext})$$\Delta E_C = \sum W(\vec{F}_{ext})$
UnitéJoule (J)Joule (J)
Résumé
  • Le théorème de l'énergie cinétique est valable en translation et en rotation.
  • Les forces intérieures ne travaillent pas (solide indéformable).
  • Le travail total est la somme des travaux des forces extérieures.

6 Synthèse - À retenir

📌 Points clés
  • Énergie cinétique : $E_C = \frac{1}{2} m \cdot V^2$ (translation) ou $E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega^2$ (rotation)
  • Théorème : $\Delta E_C = \sum W(\vec{F}_{ext})$
  • Moment d'inertie : $J_{\Delta} = \sum m_i \cdot r_i^2$ (analogue de la masse)
  • Unités : $E_C$ en Joules (J), $J$ en kg·m², $\omega$ en rad/s
⚠️ Conditions d'application
  • Le théorème s'applique dans un référentiel galiléen.
  • Le solide doit être indéformable (forces intérieures ne travaillent pas).
  • Les frottements sont pris en compte dans le bilan des travaux.
💡 Astuce pour les exercices

1. Faire le bilan des forces extérieures.
2. Calculer le travail de chaque force.
3. Appliquer le théorème : $\Delta E_C = \sum W$.
4. Résoudre l'équation pour trouver l'inconnue.

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