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Partie 5 : Exercices d'application

Table des matières

💡 Conseils avant de commencer

Pour résoudre un exercice avec le théorème de l'énergie cinétique :

  1. 📌 Faire le bilan des forces extérieures appliquées au solide.
  2. 📐 Calculer le travail de chaque force.
  3. 📝 Appliquer le théorème : \(\Delta E_C = \sum W(\vec{F}_{ext})\).
  4. ✅ Résoudre l'équation pour trouver l'inconnue.

1 Exercice 1 Facile

📝 Énoncé

Un solide (S), de masse \(m = 60\text{ kg}\), glisse sur un plan incliné d'angle \(\alpha = 15^\circ\) par rapport au plan horizontal (voir figure).

Le solide (S) est lâché du point A sans vitesse initiale, après un parcours de \(AB = 100\text{ m}\) sa vitesse devient \(V_B = 45\text{ km/h}\).
On donne \(g = 10\text{ N/kg}\).

Solide glissant sur un plan incliné

Question 1

Calculer la force de frottement \(f\) sachant que son intensité reste constante.

✅ Solution détaillée

Système étudié : le solide S

Bilan des forces : \(\vec{P}\), \(\vec{R}_N\), \(\vec{f}\)

Étape 1 : On applique le théorème de l'énergie cinétique sur le solide (S) entre A et B :
$$\Delta E_C = E_{CB} - E_{CA} = W_{A \to B}(\vec{P}) + W_{A \to B}(\vec{R}_N) + W_{A \to B}(\vec{f})$$
Étape 2 : Calcul des travaux :
\(W(\vec{R}_N) = 0\) (car \(\vec{R}_N \perp \overrightarrow{AB}\))
\(W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot AB \cdot \sin \alpha\)
\(W(\vec{f}) = -f \cdot AB\) (travail résistant)
Étape 3 : Conversion de la vitesse :
$$V_B = 45\text{ km/h} = \frac{45}{3,6} = 12,5\text{ m/s}$$
Étape 4 : Application numérique :
$$\frac{1}{2} m \cdot V_B^2 - 0 = m \cdot g \cdot AB \cdot \sin \alpha - f \cdot AB$$
$$f \cdot AB = m \cdot g \cdot AB \cdot \sin \alpha - \frac{1}{2} m \cdot V_B^2$$
$$f = m \cdot g \cdot \sin \alpha - \frac{m \cdot V_B^2}{2 \cdot AB}$$
Étape 5 : Calcul :
$$f = 60 \times 10 \times \sin(15^\circ) - \frac{60 \times (12,5)^2}{2 \times 100}$$
$$f = 600 \times 0,259 - \frac{60 \times 156,25}{200} = 155,4 - 46,875 = 108,5\text{ N}$$
✅ Résultat
$$f \approx 108,5\text{ N}$$
Question 2

Le solide (S) poursuit son mouvement sur le plan horizontal BC. Calculer la distance parcourue par le solide sur le plan horizontal avant de s'arrêter.

✅ Solution détaillée
Étape 1 : On applique le théorème de l'énergie cinétique entre B et C :
$$\Delta E_C = E_{CC} - E_{CB} = W_{B \to C}(\vec{P}) + W_{B \to C}(\vec{R}_N) + W_{B \to C}(\vec{f})$$
Étape 2 : À l'arrêt en C, \(V_C = 0\), donc \(E_{CC} = 0\).
Les travaux de \(\vec{P}\) et \(\vec{R}_N\) sont nuls (forces verticales, déplacement horizontal).
\(W_{B \to C}(\vec{f}) = -f \cdot L\)
Étape 3 : On applique le théorème :
$$0 - \frac{1}{2} m \cdot V_B^2 = -f \cdot L$$
$$L = \frac{m \cdot V_B^2}{2 \cdot f}$$
Étape 4 : Application numérique :
$$L = \frac{60 \times (12,5)^2}{2 \times 108,5} = \frac{60 \times 156,25}{217} = \frac{9375}{217} \approx 43,2\text{ m}$$
✅ Résultat
$$L \approx 43,2\text{ m}$$

2 Exercice 2 Facile

📝 Énoncé

Un solide de masse \(m = 2\text{ kg}\) est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale \(V_0 = 10\text{ m/s}\).
On néglige les frottements de l'air. \(g = 10\text{ m/s}^2\).

Question 1

Calculer l'énergie cinétique initiale du solide.

✅ Solution
Étape 1 : \(E_{C0} = \frac{1}{2} m \cdot V_0^2\)
Étape 2 : \(E_{C0} = \frac{1}{2} \times 2 \times 10^2 = 1 \times 100 = 100\text{ J}\)
✅ Résultat
$$E_{C0} = 100\text{ J}$$
Question 2

En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, calculer la hauteur maximale atteinte par le solide.

✅ Solution
Étape 1 : Au point le plus haut, la vitesse est nulle : \(V = 0\), donc \(E_C = 0\).
Étape 2 : Bilan des forces : seule le poids \(\vec{P}\) travaille.
\(W(\vec{P}) = -m \cdot g \cdot h\) (travail résistant car le solide monte)
Étape 3 : Théorème de l'énergie cinétique :
$$\Delta E_C = E_C - E_{C0} = W(\vec{P})$$
$$0 - 100 = -m \cdot g \cdot h$$
$$h = \frac{100}{m \cdot g} = \frac{100}{2 \times 10} = 5\text{ m}$$
✅ Résultat
$$h_{max} = 5\text{ m}$$

3 Exercice 3 Moyen

📝 Énoncé

Un solide de masse \(m = 500\text{ g}\) glisse sur un plan incliné d'angle \(\alpha = 30^\circ\).
Il part du repos du point A situé à une hauteur \(h = 2\text{ m}\).
Les frottements sont négligeables. \(g = 10\text{ m/s}^2\).

Question 1

Calculer le travail du poids entre A et B.

✅ Solution
Étape 1 : \(m = 500\text{ g} = 0,5\text{ kg}\)
Étape 2 : \(W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot h = 0,5 \times 10 \times 2 = 10\text{ J}\)
✅ Résultat
$$W(\vec{P}) = 10\text{ J}$$

Le travail est moteur (le solide descend).

Question 2

Calculer la vitesse du solide en B en utilisant le théorème de l'énergie cinétique.

✅ Solution
Étape 1 : Le solide part du repos : \(V_A = 0\), donc \(E_{CA} = 0\).
Étape 2 : Théorème de l'énergie cinétique :
$$\Delta E_C = E_{CB} - E_{CA} = W(\vec{P})$$
$$\frac{1}{2} m \cdot V_B^2 - 0 = 10$$
Étape 3 :
$$V_B^2 = \frac{2 \times 10}{0,5} = 40$$
$$V_B = \sqrt{40} \approx 6,32\text{ m/s}$$
✅ Résultat
$$V_B \approx 6,32\text{ m/s}$$

4 Exercice 4 Moyen

📝 Énoncé

Un moteur exerce une puissance constante sur un cylindre \(\mathcal{P} = 10\text{ W}\).

Le cylindre de masse \(m = 2\text{ kg}\) et de rayon \(r = 20\text{ cm}\), tourne autour d'un axe fixe \((\Delta)\) qui passe par son centre d'inertie.
On donne le moment d'inertie du cylindre : \(J_{\Delta} = \frac{1}{2} m \cdot r^2\).

Question 1

Calculer la durée du temps \(\Delta t\) nécessaire pour que la fréquence du cylindre devienne \(N = 10\text{ tr/s}\), on considère que les frottements sont négligeables.

✅ Solution détaillée

Système étudié : le cylindre

Bilan des forces : \(\vec{P}\), \(\vec{R}\), Action du couple moteur \(M_c\)

Étape 1 : On applique le théorème de l'énergie cinétique :
$$\Delta E_C = \frac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega_f^2 = \mathcal{P} \cdot \Delta t$$
Étape 2 : \(J_{\Delta} = \frac{1}{2} m \cdot r^2\) et \(\omega_f = 2\pi N\)
Étape 3 : Calcul :
$$\Delta t = \frac{\pi^2 \cdot m \cdot r^2 \cdot N^2}{\mathcal{P}}$$
$$\Delta t = \frac{\pi^2 \times 2 \times (0,2)^2 \times 10^2}{10} = 7,90\text{ s}$$
✅ Résultat
$$\Delta t \approx 7,90\text{ s}$$
Question 2

À la fréquence \(N = 10\text{ tr/s}\), on applique tangentiellement à la circonférence du cylindre une force \(\vec{F}\) constante, pour que le mouvement devient uniforme. Calculer la valeur de la force \(F\).

✅ Solution détaillée
Étape 1 : Mouvement uniforme \(\Rightarrow \omega = \text{constante} \Rightarrow \Delta E_C = 0\)
Étape 2 : Théorème de l'énergie cinétique :
$$0 = W(C) + W(\vec{F})$$
$$M_c = F \cdot r$$
Étape 3 : \(M_c \cdot \omega = \mathcal{P} \Rightarrow M_c = \frac{\mathcal{P}}{\omega}\)
Étape 4 :
$$F = \frac{\mathcal{P}}{2\pi \cdot N \cdot r} = \frac{10}{2\pi \times 10 \times 0,2} = 0,795\text{ N}$$
✅ Résultat
$$F \approx 0,80\text{ N}$$

5 Exercice 5 Difficile

📝 Énoncé

Un pendule simple est constitué d'une bille de masse \(m = 200\text{ g}\) suspendue à un fil inextensible de longueur \(L = 1\text{ m}\).
On écarte le pendule d'un angle \(\theta_0 = 60^\circ\) par rapport à la verticale et on le lâche sans vitesse initiale.
On néglige les frottements. \(g = 10\text{ m/s}^2\).

Pendule simple

Question 1

Calculer la hauteur \(h\) dont descend la bille entre sa position initiale et la position verticale.

✅ Solution
Étape 1 : La hauteur est donnée par :
$$h = L - L \cdot \cos \theta_0 = L(1 - \cos \theta_0)$$
Étape 2 : \(\cos(60^\circ) = 0,5\)
Étape 3 : \(h = 1 \times (1 - 0,5) = 0,5\text{ m}\)
✅ Résultat
$$h = 0,5\text{ m}$$
Question 2

En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, calculer la vitesse de la bille lorsqu'elle passe par la position verticale.

✅ Solution
Étape 1 : \(m = 200\text{ g} = 0,2\text{ kg}\)
Étape 2 : Théorème de l'énergie cinétique :
$$\frac{1}{2} m \cdot V^2 - 0 = m \cdot g \cdot h$$
$$\frac{1}{2} V^2 = g \cdot h$$
$$V^2 = 2 \cdot g \cdot h = 2 \times 10 \times 0,5 = 10$$
$$V = \sqrt{10} \approx 3,16\text{ m/s}$$
✅ Résultat
$$V \approx 3,16\text{ m/s}$$
Question 3

Calculer l'énergie cinétique de la bille à la position verticale.

✅ Solution
Étape 1 : \(E_C = \frac{1}{2} m \cdot V^2\)
Étape 2 : \(E_C = \frac{1}{2} \times 0,2 \times 10 = 1\text{ J}\)
✅ Résultat
$$E_C = 1\text{ J}$$
Partie 4 Résumé