Série 3 - Concentration, dilution et mélanges

Exercices 6 à 7 : Dissolution - Conductivité - Mélange d'électrolytes

6 Dissolution du bromure de potassium - Dilution

Dissolution - Dilution Moyen

La conductivité d'une solution de bromure de potassium $\text{K}^+ + \text{Br}^-$ est égale à $\sigma = 3,0 \times 10^{-2}\text{ S/m}$.

Données : $\lambda(\text{K}^+) = 7,35 \times 10^{-3}\text{ S·m}^2\text{/mol}$
$\lambda(\text{Br}^-) = 7,81 \times 10^{-3}\text{ S·m}^2\text{/mol}$

Écrire l'équation de la dissolution du bromure de potassium dans l'eau.

✅ Solution

Équation de dissolution :

$$\text{KBr}(s) \xrightarrow{\text{H}_2\text{O}} \text{K}^+(aq) + \text{Br}^-(aq)$$

Le bromure de potassium est un électrolyte fort qui se dissocie totalement en ions K⁺ et Br⁻.

Calculer la concentration molaire de la solution en $\text{mol/L}$.

✅ Solution

Conductivité de la solution :

$$\sigma = \lambda(\text{K}^+) \times C + \lambda(\text{Br}^-) \times C = (\lambda(\text{K}^+) + \lambda(\text{Br}^-)) \times C$$

Somme des conductivités molaires ioniques :

$$\lambda(\text{K}^+) + \lambda(\text{Br}^-) = (7,35 + 7,81) \times 10^{-3} = 15,16 \times 10^{-3}\text{ S·m}^2\text{/mol}$$

Concentration en $\text{mol/m}^3$ :

$$C = \frac{\sigma}{\lambda(\text{K}^+) + \lambda(\text{Br}^-)} = \frac{3,0 \times 10^{-2}}{15,16 \times 10^{-3}} = 1,98\text{ mol/m}^3$$

Conversion en $\text{mol/L}$ :

$$C = 1,98\text{ mol/m}^3 = 1,98 \times 10^{-3}\text{ mol/L}$$

Résultat
                                    $$C = 1,98 \times 10^{-3}\text{ mol/L}$$
                                

On dilue 10 fois cette solution. Quelle sera alors la valeur de la conductivité de la solution diluée ?

✅ Solution

Dilution 10 fois :

$$C' = \frac{C}{10} = \frac{1,98 \times 10^{-3}}{10} = 1,98 \times 10^{-4}\text{ mol/L} = 0,198\text{ mol/m}^3$$

Conductivité de la solution diluée :

$$\sigma' = (\lambda(\text{K}^+) + \lambda(\text{Br}^-)) \times C'$$ $$\sigma' = 15,16 \times 10^{-3} \times 0,198 = 3,00 \times 10^{-3}\text{ S/m}$$

Résultat

$$\sigma' = 3,0 \times 10^{-3}\text{ S/m}$$

La conductivité est divisée par 10 lors d'une dilution par 10.

7 Mélange de solutions - Bromure de potassium et iodure de sodium

Mélange d'électrolytes Difficile

À $25^\circ\text{C}$, on mélange un volume $V_1 = 100,0\text{ mL}$ d'une solution aqueuse $S_1$ de bromure de potassium, de concentration molaire $C_1 = 1,08 \times 10^{-3}\text{ mol/L}$, avec un volume $V_2 = 200\text{ mL}$ d'une solution aqueuse $S_2$ d'iodure de sodium, de concentration molaire $C_2 = 9,51 \times 10^{-4}\text{ mol/L}$. On note $V$ le volume du mélange.

Données : $\lambda(\text{K}^+) = 7,35 \times 10^{-3}\text{ S·m}^2\text{/mol}$
$\lambda(\text{Br}^-) = 7,81 \times 10^{-3}\text{ S·m}^2\text{/mol}$
$\lambda(\text{I}^-) = 7,63 \times 10^{-3}\text{ S·m}^2\text{/mol}$
$\lambda(\text{Na}^+) = 5,01 \times 10^{-3}\text{ S·m}^2\text{/mol}$

Donner l'expression littérale puis calculer la quantité de matière de chaque ion du mélange.

✅ Solution

Ions présents dans le mélange :

De S₁ : $\text{K}^+$ et $\text{Br}^-$
De S₂ : $\text{Na}^+$ et $\text{I}^-$

Quantités de matière :

$$n(\text{K}^+) = C_1 \times V_1 = 1,08 \times 10^{-3} \times 0,100 = 1,08 \times 10^{-4}\text{ mol}$$ $$n(\text{Br}^-) = C_1 \times V_1 = 1,08 \times 10^{-4}\text{ mol}$$ $$n(\text{Na}^+) = C_2 \times V_2 = 9,51 \times 10^{-4} \times 0,200 = 1,90 \times 10^{-4}\text{ mol}$$ $$n(\text{I}^-) = C_2 \times V_2 = 1,90 \times 10^{-4}\text{ mol}$$

                                Résultats
                                \(n(\text{K}^+) = 1,08 \times 10^{-4}\text{ mol}\)
\(n(\text{Br}^-) = 1,08 \times 10^{-4}\text{ mol}\)
\(n(\text{Na}^+) = 1,90 \times 10^{-4}\text{ mol}\)
\(n(\text{I}^-) = 1,90 \times 10^{-4}\text{ mol}\)

                            

Donner l'expression littérale puis calculer la concentration molaire de chaque ion du mélange en $\text{mol/m}^3$.

✅ Solution

Volume total :

$$V = V_1 + V_2 = 0,100 + 0,200 = 0,300\text{ L}$$

Concentrations en $\text{mol/L}$ :

$$[\text{K}^+] = \frac{1,08 \times 10^{-4}}{0,300} = 3,60 \times 10^{-4}\text{ mol/L} = 0,360\text{ mol/m}^3$$ $$[\text{Br}^-] = 0,360\text{ mol/m}^3$$ $$[\text{Na}^+] = \frac{1,90 \times 10^{-4}}{0,300} = 6,33 \times 10^{-4}\text{ mol/L} = 0,633\text{ mol/m}^3$$ $$[\text{I}^-] = 0,633\text{ mol/m}^3$$

                                Résultats
                                \([\text{K}^+] = 0,360\text{ mol/m}^3\)
\([\text{Br}^-] = 0,360\text{ mol/m}^3\)
\([\text{Na}^+] = 0,633\text{ mol/m}^3\)
\([\text{I}^-] = 0,633\text{ mol/m}^3\)

                            

En déduire la conductivité $\sigma$ du mélange.

✅ Solution

Conductivité du mélange :

$$\sigma = \sum_i \lambda_i \times C_i$$

Application :

$$\sigma = \lambda(\text{K}^+) \times [\text{K}^+] + \lambda(\text{Br}^-) \times [\text{Br}^-] + \lambda(\text{Na}^+) \times [\text{Na}^+] + \lambda(\text{I}^-) \times [\text{I}^-]$$ $$\sigma = (7,35 \times 0,360 + 7,81 \times 0,360 + 5,01 \times 0,633 + 7,63 \times 0,633) \times 10^{-3}$$ $$\sigma = (2,646 + 2,812 + 3,171 + 4,830) \times 10^{-3}$$ $$\sigma = 13,459 \times 10^{-3} = 1,35 \times 10^{-2}\text{ S/m}$$

Résultat
                                    $$\sigma = 1,35 \times 10^{-2}\text{ S/m}$$
                                

Déterminer les conductivités $\sigma_1$ et $\sigma_2$ des solutions avant mélange.

✅ Solution

Concentrations en $\text{mol/m}^3$ :

$$C_1 = 1,08 \times 10^{-3}\text{ mol/L} = 1,08\text{ mol/m}^3$$ $$C_2 = 9,51 \times 10^{-4}\text{ mol/L} = 0,951\text{ mol/m}^3$$

Conductivité de S₁ (K⁺ + Br⁻) :

$$\sigma_1 = (\lambda(\text{K}^+) + \lambda(\text{Br}^-)) \times C_1$$ $$\sigma_1 = (7,35 + 7,81) \times 10^{-3} \times 1,08$$ $$\sigma_1 = 15,16 \times 10^{-3} \times 1,08 = 1,64 \times 10^{-2}\text{ S/m}$$

Conductivité de S₂ (Na⁺ + I⁻) :

$$\sigma_2 = (\lambda(\text{Na}^+) + \lambda(\text{I}^-)) \times C_2$$ $$\sigma_2 = (5,01 + 7,63) \times 10^{-3} \times 0,951$$ $$\sigma_2 = 12,64 \times 10^{-3} \times 0,951 = 1,20 \times 10^{-2}\text{ S/m}$$

                                Résultats
                                \(\sigma_1 = 1,64 \times 10^{-2}\text{ S/m}\)
\(\sigma_2 = 1,20 \times 10^{-2}\text{ S/m}\)

                            

Quelle est la relation entre la conductivité $\sigma$ du mélange, $\sigma_1$ et $\sigma_2$, $V_1$ et $V_2$ ?

✅ Solution

Relation :

$$\sigma = \frac{V_1}{V_1 + V_2} \sigma_1 + \frac{V_2}{V_1 + V_2} \sigma_2$$

La conductivité du mélange est la moyenne pondérée des conductivités des solutions initiales par leurs volumes.

Vérification

$$\sigma = \frac{0,100}{0,300} \times 1,64 \times 10^{-2} + \frac{0,200}{0,300} \times 1,20 \times 10^{-2}$$ $$= 0,333 \times 1,64 \times 10^{-2} + 0,667 \times 1,20 \times 10^{-2}$$ $$= 0,547 \times 10^{-2} + 0,800 \times 10^{-2} = 1,35 \times 10^{-2}\text{ S/m}$$

✅ La relation est vérifiée.

Calculer la conductivité $\sigma$ du mélange réalisé à partir de $V_1 = 50\text{ mL}$ de $S_1$ et $V_2 = 300\text{ mL}$ de $S_2$.

✅ Solution

Application de la relation :

$$\sigma = \frac{V_1}{V_1 + V_2} \sigma_1 + \frac{V_2}{V_1 + V_2} \sigma_2$$ $$= \frac{50}{50 + 300} \times 1,64 \times 10^{-2} + \frac{300}{50 + 300} \times 1,20 \times 10^{-2}$$ $$= \frac{50}{350} \times 1,64 \times 10^{-2} + \frac{300}{350} \times 1,20 \times 10^{-2}$$ $$= 0,143 \times 1,64 \times 10^{-2} + 0,857 \times 1,20 \times 10^{-2}$$ $$= 0,235 \times 10^{-2} + 1,028 \times 10^{-2} = 1,26 \times 10^{-2}\text{ S/m}$$

Résultat
                                    $$\sigma = 1,26 \times 10^{-2}\text{ S/m}$$
                                

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