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Exercice 1

Parité - Fonction périodique Niveau : Facile

1 Énoncé

Soit f la fonction définie par : $f(x) = \cos(\pi x)$

Étudier la parité de la fonction f

✅ Solution

Pour étudier la parité d'une fonction, on calcule $f(-x)$ et on compare avec $f(x)$.

Étape 1 : $f(-x) = \cos(\pi(-x)) = \cos(-\pi x)$

Étape 2 : $\cos$ est une fonction paire : $\cos(-a) = \cos(a)$

Étape 3 : $f(-x) = \cos(\pi x) = f(x)$

Conclusion

$\forall x \in \mathbb{R},\ f(-x) = f(x)$ donc $f$ est paire.

Courbe de $f(x) = \cos(\pi x)$ (fonction paire)

Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x+2) = f(x)$

✅ Solution

Étape 1 : $f(x+2) = \cos(\pi(x+2))$

Étape 2 : $= \cos(\pi x + 2\pi)$

Étape 3 : $\cos$ est périodique de période $2\pi$ : $\cos(a+2\pi) = \cos(a)$

Étape 4 : $f(x+2) = \cos(\pi x) = f(x)$

Conclusion

$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x+2) = f(x)$ ✅

Déduire que la fonction f est périodique

✅ Solution

Étape 1 : On a montré que $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x+2) = f(x)$

Étape 2 : Par définition, une fonction est périodique s'il existe $T > 0$ tel que $f(x+T) = f(x)$.

Étape 3 : Ici $T = 2$ (car $T > 0$).

Conclusion

$f$ est périodique de période $T = 2$.

Remarque : La période de $\cos(\pi x)$ est $T = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$.

Périodicité de $f(x) = \cos(\pi x)$ avec $T=2$

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