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Exercice 2

Valeur absolue - Minimum Niveau : Facile

1 Énoncé

Soit f la fonction numérique définie par :

$f(x) = |x-1| + |x+1|$

Étudier la parité de la fonction f

✅ Solution

Étape 1 : $f(-x) = |-x-1| + |-x+1|$

Étape 2 : $= |-(x+1)| + |-(x-1)|$

Étape 3 : $= |x+1| + |x-1|$ (car $|-a| = |a|$)

Étape 4 : $= |x-1| + |x+1| = f(x)$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(-x) = f(x)$ donc $f$ est paire.

Courbe de $f(x) = |x-1| + |x+1|$ (fonction paire)

Vérifier que $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge 2$

✅ Solution

On utilise l'inégalité triangulaire : $|a| + |b| \ge |a+b|$

Étape 1 : $f(x) = |x-1| + |x+1|$

Étape 2 : $|x-1| + |x+1| \ge |(x-1) + (x+1)| = |2x|$

Cette méthode ne donne pas le résultat souhaité car $|2x|$ peut être inférieur à 2.

Méthode correcte : Étudier les cas

Cas 1 : $x \ge 1$
$f(x) = (x-1) + (x+1) = 2x \ge 2$ ✅

Cas 2 : $-1 \le x \le 1$
$f(x) = -(x-1) + (x+1) = -x+1+x+1 = 2$ ✅

Cas 3 : $x \le -1$
$f(x) = -(x-1) - (x+1) = -x+1-x-1 = -2x \ge 2$ ✅

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge 2$ ✅

Expression de f selon les intervalles

Résoudre l'équation $f(x) = 2$ et déduire une valeur minimale de la fonction f sur ℝ

✅ Solution

D'après le tableau ci-dessus :

Cas 1 : $x \ge 1$, $f(x) = 2x$
$2x = 2 \iff x = 1$ (vérifie $x \ge 1$) ✅

Cas 2 : $-1 \le x \le 1$, $f(x) = 2$
$2 = 2$ pour tout $x \in [-1,1]$ ✅

Cas 3 : $x \le -1$, $f(x) = -2x$
$-2x = 2 \iff x = -1$ (vérifie $x \le -1$) ✅

Ensemble des solutions :

$S = [-1, 1]$

Déduction : On a montré que $f(x) \ge 2$ et $f(x) = 2$ pour tout $x \in [-1,1]$.

Conclusion

La valeur minimale de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $m = 2$.

Atteinte pour tout $x \in [-1,1]$.

Minimum $m = 2$ atteint sur $[-1,1]$

Exercice 1 Exercice 3