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Exercice 10

Fonctions trigonométriques Niveau : Difficile

1 Énoncé

Soit la fonction f définie sur ℝ par :

$f(x) = 2\cos x - x$

1) a) Montrer que pour tout x de $I = [0; \pi]$ : $-\pi - 2 \le f(x) \le 2$

Montrer que pour tout x de $I = [0; \pi]$ : $-\pi - 2 \le f(x) \le 2$

✅ Solution

Étape 1 : Pour $x \in [0; \pi]$, on a $0 \le x \le \pi$

Étape 2 : $\cos x \le 1$ donc $2\cos x \le 2$ et $-x \le 0$

Étape 3 : $f(x) = 2\cos x - x \le 2 - 0 = 2$ ✅

Étape 4 : $\cos x \ge -1$ donc $2\cos x \ge -2$ et $-x \ge -\pi$

Étape 5 : $f(x) = 2\cos x - x \ge -2 - \pi = -\pi - 2$ ✅

Conclusion : $\forall x \in [0; \pi],\ -\pi - 2 \le f(x) \le 2$

Étudier la monotonie de la fonction $x \mapsto \cos x$ sur l'intervalle $I$

✅ Solution

Étape 1 : La fonction $\cos x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $-\sin x$.

Étape 2 : Pour $x \in [0; \pi]$, $\sin x \ge 0$, donc $-\sin x \le 0$.

Étape 3 : La dérivée est négative sur $[0; \pi]$.

Conclusion : La fonction $x \mapsto \cos x$ est strictement décroissante sur $[0; \pi]$.

$\cos x$ est décroissante sur $[0; \pi]$

Déduire la monotonie de la fonction f

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = 2\cos x - x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Étape 2 : $f'(x) = -2\sin x - 1$

Étape 3 : Pour $x \in [0; \pi]$, $\sin x \ge 0$, donc $-2\sin x \le 0$.

Étape 4 : $-2\sin x - 1 \le -1 < 0$

Conclusion : $f$ est strictement décroissante sur $[0; \pi]$.

$f(x) = 2\cos x - x$ est décroissante sur $[0; \pi]$

2) On pose : $g(x) = f(4x)$

Étudier la monotonie de la fonction g sur l'intervalle $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$

✅ Solution

Étape 1 : $g(x) = f(4x) = 2\cos(4x) - 4x$

Étape 2 : $g'(x) = -8\sin(4x) - 4$

Étape 3 : Pour $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$, on a $4x \in [0; \pi]$

Étape 4 : $\sin(4x) \ge 0$ donc $-8\sin(4x) \le 0$

Étape 5 : $g'(x) = -8\sin(4x) - 4 \le -4 < 0$

Conclusion : $g$ est strictement décroissante sur $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$.

$g(x) = 2\cos(4x) - 4x$ est décroissante sur $[0; \pi/4]$

3) On pose : $h(x) = (2\cos x - x)^2$

Déterminer une fonction u vérifiant $h = u \circ f$

✅ Solution

Étape 1 : $h(x) = (2\cos x - x)^2 = (f(x))^2$

Étape 2 : On pose $u(t) = t^2$

Étape 3 : Alors $u \circ f(x) = u(f(x)) = (f(x))^2 = h(x)$

Conclusion

$h = u \circ f$ avec $u(t) = t^2$

Déterminer la monotonie de h sur $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right]$

✅ Solution

Étape 1 : $h(x) = (f(x))^2$ avec $f(x) = 2\cos x - x$

Étape 2 : D'après la question 1c, $f$ est strictement décroissante sur $[0; \pi]$.

Étape 3 : $u(t) = t^2$ est décroissante sur $]-\infty; 0]$ et croissante sur $[0; +\infty[$.

Étape 4 : Sur $\left[0; \dfrac{\pi}{4}\right]$, $f(x) = 2\cos x - x$.

Étape 5 : $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2\cos\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2} - \dfrac{\pi}{4} \approx 0.63 > 0$

Étape 6 : Donc $f(x) > 0$ sur $\left[0; \dfrac{\pi}{4}\right]$.

Étape 7 : $u(t) = t^2$ est croissante sur $[0; +\infty[$.

Conclusion : $h = u \circ f$ est décroissante sur $\left[0; \dfrac{\pi}{4}\right]$ car $f$ est décroissante et $u$ est croissante (composée de monotonies opposées).

Rappel

Si $f$ est décroissante et $u$ est croissante, alors $u \circ f$ est décroissante.

$h(x) = (2\cos x - x)^2$ est décroissante sur $[0; \pi/4]$

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