Retour

Exercice 9

Monotonie - Composée - Représentation Niveau : Difficile

1 Énoncé

1) Soit la fonction f définie sur ℝ⁺ par : $f(x) = x^2 + 2x$

Déterminer la monotonie de la fonction f sur ℝ⁺

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$

Étape 2 : Soient $x, x' \in \mathbb{R}^+$ avec $x < x'$.

Étape 3 : $f(x') - f(x) = (x'^2 - x^2) + 2(x' - x) = (x' - x)(x' + x + 2)$

Étape 4 : $x' - x > 0$ et $x' + x + 2 > 0$ (car $x,x' \ge 0$)

Étape 5 : Donc $f(x') - f(x) > 0 \iff f(x) < f(x')$

Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$.

$f(x) = x^2 + 2x$ est croissante sur ℝ⁺

Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}^+,\ f(x) \ge 0$

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = x^2 + 2x = x(x+2)$

Étape 2 : Pour $x \ge 0$, on a $x \ge 0$ et $x+2 > 0$

Étape 3 : Donc $x(x+2) \ge 0$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R}^+,\ f(x) \ge 0$ ✅

2) Soit g la fonction définie sur ℝ⁺ par : $g(x) = -1 + \sqrt{1+x}$

Déterminer la monotonie de la fonction g sur ℝ⁺

✅ Solution

Étape 1 : $g(x) = -1 + \sqrt{1+x}$

Étape 2 : Soient $x, x' \in \mathbb{R}^+$ avec $x < x'$.

Étape 3 : $x < x' \Rightarrow 1+x < 1+x' \Rightarrow \sqrt{1+x} < \sqrt{1+x'}$

Étape 4 : $-1 + \sqrt{1+x} < -1 + \sqrt{1+x'} \iff g(x) < g(x')$

Conclusion : $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$.

$g(x) = -1 + \sqrt{1+x}$ est croissante sur ℝ⁺

Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}^+,\ g(x) \ge 0$

✅ Solution

Étape 1 : $g(x) = -1 + \sqrt{1+x}$

Étape 2 : Pour $x \ge 0$, on a $1+x \ge 1 \Rightarrow \sqrt{1+x} \ge 1$

Étape 3 : $-1 + \sqrt{1+x} \ge -1 + 1 = 0$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R}^+,\ g(x) \ge 0$ ✅

Calculer $(f \circ g)(x)$ et $(g \circ f)(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^+$

✅ Solution

1) $(f \circ g)(x)$ :

Étape 1 : $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(-1 + \sqrt{1+x})$

Étape 2 : $= (-1 + \sqrt{1+x})^2 + 2(-1 + \sqrt{1+x})$

Étape 3 : $= (1 - 2\sqrt{1+x} + 1 + x) - 2 + 2\sqrt{1+x}$

Étape 4 : $= x$ (les termes en $\sqrt{1+x}$ s'annulent)

$(f \circ g)(x) = x$

2) $(g \circ f)(x)$ :

Étape 1 : $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 + 2x)$

Étape 2 : $= -1 + \sqrt{1 + x^2 + 2x}$

Étape 3 : $= -1 + \sqrt{(x+1)^2}$

Étape 4 : $= -1 + |x+1|$

Étape 5 : Pour $x \ge 0$, $x+1 \ge 0$ donc $|x+1| = x+1$

Étape 6 : $(g \circ f)(x) = -1 + x + 1 = x$

$(g \circ f)(x) = x$

Conclusion

$(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = x$

Les fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre sur ℝ⁺

Représenter dans le même repère orthonormé $(C_f)$, $(C_g)$ et la droite d'équation $y=x$

✅ Solution

Puisque $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = x$, les courbes $C_f$ et $C_g$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

$C_f$ (bleu), $C_g$ (vert) et $y=x$ (rouge)

Propriété

Les fonctions $f$ et $g$ sont des fonctions réciproques sur $\mathbb{R}^+$.

Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

Exercice 8 Exercice 10