Exercice 1

1) a)

Démontrer que $D$ est le barycentre du système : $(A,3)$ ; $(B,-2)$ ; $(C,3)$

✅ Solution détaillée

Rappel

Un point $G$ est le barycentre de $\{(A,\alpha); (B,\beta); (C,\gamma)\}$ si et seulement si :

$$\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} + \gamma\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

Étape 1 : On veut montrer que $D$ est le barycentre de $\{(A,3); (B,-2); (C,3)\}$.
Il faut donc montrer que :

$$3\overrightarrow{DA} - 2\overrightarrow{DB} + 3\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$$

Étape 2 : On utilise la relation de Chasles en écrivant les vecteurs à partir de $A$ :

$$3(\overrightarrow{DA}) - 2(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}) + 3(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$$

Étape 3 : On développe :

$$3\overrightarrow{DA} - 2\overrightarrow{DA} - 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{DA} + 3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$$ $$(3 - 2 + 3)\overrightarrow{DA} - 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$$ $$4\overrightarrow{DA} - 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$$

Étape 4 : On sait que $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ (relation de Chasles).
Donc : $3\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC}$

Étape 5 : On remplace :

$$4\overrightarrow{DA} - 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$$ $$4\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$$

Étape 6 : On multiplie par $-1$ :

$$-4\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$$ $$4\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BC}$$

Étape 7 : C'est exactement la relation donnée dans l'énoncé ! ✅

Conclusion

$D$ est bien le barycentre du système pondéré :

$$D = \text{Bar}\{(A,3); (B,-2); (C,3)\}$$

1) b)

En déduire que $D$ appartient à la médiatrice du segment $[AC]$.

✅ Solution détaillée

Étape 1 : D'après la question 1) a), on a :

$$D = \text{Bar}\{(A,3); (B,-2); (C,3)\}$$

Étape 2 : On utilise l'associativité du barycentre.
Soit $G_1 = \text{Bar}\{(A,3); (C,3)\}$.
La somme des poids est : $3 + 3 = 6$.

Étape 3 : Le barycentre de $(A,3)$ et $(C,3)$ est le milieu de $[AC]$.
Donc $G_1 = B'$ (puisque $B'$ est le milieu de $[AC]$).

Étape 4 : D'après l'associativité :

$$D = \text{Bar}\{(B',6); (B,-2)\}$$

Étape 5 : On simplifie par 2 :

$$D = \text{Bar}\{(B',3); (B,-1)\}$$

Étape 6 : La somme des poids est : $3 + (-1) = 2 \neq 0$.
Donc $D$ est sur la droite $(BB')$.

Étape 7 : Dans un triangle équilatéral, la médiane $[BB']$ est aussi la médiatrice de $[AC]$.

Conclusion

$D$ appartient à la droite $(BB')$, qui est la médiatrice du segment $[AC]$.

D appartient à la médiatrice de [AC]

2)

Démontrer que $BD = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

✅ Solution détaillée

Rappel

Dans un triangle équilatéral de côté $a$, la hauteur (et médiane) a pour longueur :

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Étape 1 : D'après la question 1) b), $D \in (BB')$.
Donc les points $B$, $D$ et $B'$ sont alignés.

Étape 2 : On a $D = \text{Bar}\{(B',3); (B,-1)\}$.
La somme des poids est : $3 + (-1) = 2$.

Étape 3 : On calcule le rapport $\frac{BD}{BB'}$ en utilisant la propriété caractéristique du barycentre.
Pour $M = B'$ :

$$3\overrightarrow{B'B'} - 1\overrightarrow{B'B} = 2\overrightarrow{B'D}$$ $$-\overrightarrow{B'B} = 2\overrightarrow{B'D}$$ $$\overrightarrow{B'D} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{B'B} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$$

Étape 4 : Donc $D$ est le milieu de $[BB']$ ?
Non ! On a $\overrightarrow{B'D} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$.
Ce qui signifie que $B'$ est au milieu de $[BD]$.

Étape 5 : Donc $BD = 2 \times BB'$.

Étape 6 : $BB'$ est la hauteur du triangle équilatéral $ABC$ de côté $3$.

$$BB' = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Étape 7 : Donc :

$$BD = 2 \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

⚠️ Attention ! Le résultat attendu est $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.

Étape 8 : Reprenons le calcul de $D$.
On a $D = \text{Bar}\{(B',3); (B,-1)\}$.
On pose $M = B$ :

$$3\overrightarrow{BB'} - 1\overrightarrow{BB} = 2\overrightarrow{BD}$$ $$3\overrightarrow{BB'} = 2\overrightarrow{BD}$$ $$\overrightarrow{BD} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BB'}$$

Étape 9 : Donc $BD = \frac{3}{2} \times BB' = \frac{3}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$.

Étape 10 : Vérifions l'énoncé : $\frac{9\sqrt{3}}{4} \approx 3.897$ et $\frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2.121$.
Les deux valeurs ne sont pas égales.

⚠️ Correction

Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé. Le calcul correct donne :

$$BD = \frac{9\sqrt{3}}{4} \approx 3.897$$

Vérifions avec une autre méthode :

Dans le repère $(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$ :

$B(1;0)$, $C(0;1)$, $B'\left(0;\frac{1}{2}\right)$.

$D = \text{Bar}\{(A,3); (B,-2); (C,3)\}$ :

$$x_D = \frac{3 \times 0 + (-2) \times 1 + 3 \times 0}{3-2+3} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$y_D = \frac{3 \times 0 + (-2) \times 0 + 3 \times 1}{3-2+3} = \frac{3}{4}$$

Donc $D\left(-\frac{1}{2}; \frac{3}{4}\right)$.

Alors $BD = \sqrt{\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{45}{16}} = \frac{3\sqrt{5}}{4} \approx 1.677$.

Note

L'énoncé semble contenir une erreur. La valeur correcte est $BD = \frac{3\sqrt{5}}{4}$.

3)

Calculer $DA^2$ et $DB^2$

✅ Solution détaillée

Étape 1 : On utilise le repère $(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$.
On a $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;1)$ et $D\left(-\frac{1}{2}; \frac{3}{4}\right)$.

Étape 2 : Calcul de $DA^2$ :

$$DA^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{16} = \frac{4}{16} + \frac{9}{16} = \frac{13}{16}$$

Étape 3 : Calcul de $DB^2$ :

$$DB^2 = \left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{3}{4}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{4} + \frac{9}{16} = \frac{36}{16} + \frac{9}{16} = \frac{45}{16}$$

Conclusion
                                    $$DA^2 = \frac{13}{16} \quad \text{et} \quad DB^2 = \frac{45}{16}$$
                                

4)

Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ vérifiant la relation :

$$3MA^2 - 2MB^2 + 3MC^2 = 12$$

Vérifier que le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ appartient à $(E)$.

✅ Solution détaillée

Rappel

Pour $G = \text{Bar}\{(A,\alpha); (B,\beta); (C,\gamma)\}$ :

$$\alpha MA^2 + \beta MB^2 + \gamma MC^2 = (\alpha + \beta + \gamma) MG^2 + \alpha GA^2 + \beta GB^2 + \gamma GC^2$$

Étape 1 : On a $D = \text{Bar}\{(A,3); (B,-2); (C,3)\}$.
Donc $3MA^2 - 2MB^2 + 3MC^2 = (3 - 2 + 3) MD^2 + 3DA^2 - 2DB^2 + 3DC^2$.

Étape 2 : La somme des poids est : $3 - 2 + 3 = 4$.
Donc : $3MA^2 - 2MB^2 + 3MC^2 = 4MD^2 + 3DA^2 - 2DB^2 + 3DC^2$.

Étape 3 : On a déjà $DA^2 = \frac{13}{16}$ et $DB^2 = \frac{45}{16}$.
Il nous faut $DC^2$ :

$$DC^2 = \left(0 + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16}$$

Étape 4 : On calcule $3DA^2 - 2DB^2 + 3DC^2$ :

$$3 \times \frac{13}{16} - 2 \times \frac{45}{16} + 3 \times \frac{5}{16} = \frac{39 - 90 + 15}{16} = \frac{-36}{16} = -\frac{9}{4}$$

Étape 5 : L'équation devient :

$$4MD^2 - \frac{9}{4} = 12$$ $$4MD^2 = 12 + \frac{9}{4} = \frac{48}{4} + \frac{9}{4} = \frac{57}{4}$$ $$MD^2 = \frac{57}{16}$$

Étape 6 : Donc $MD = \frac{\sqrt{57}}{4}$.

Conclusion

L'ensemble $(E)$ est le cercle de centre $D$ et de rayon $r = \frac{\sqrt{57}}{4}$.

$$(E) = \mathcal{C}\left(D, \frac{\sqrt{57}}{4}\right)$$

Vérification : $G$ appartient à $(E)$

Étape 1 : $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
Dans le repère $(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$, on a :

$$G\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right)$$

Étape 2 : On calcule $GD$ :

$$GD^2 = \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{3}\right)^2 = \left(-\frac{5}{6}\right)^2 + \left(\frac{5}{12}\right)^2 = \frac{25}{36} + \frac{25}{144} = \frac{125}{144}$$

Étape 3 : On vérifie que $GD^2 = \frac{57}{16}$ ?
$\frac{125}{144} \neq \frac{57}{16} = \frac{513}{144}$.

⚠️ Attention

$G$ n'appartient pas à $(E)$ ! Vérifions :

$$3GA^2 - 2GB^2 + 3GC^2 = ?$$

Dans le repère $(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$ :

$G\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right)$, $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;1)$.

$$GA^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$$ $$GB^2 = \left(\frac{1}{3} - 1\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$$ $$GC^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3} - 1\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$

$$3 \times \frac{2}{9} - 2 \times \frac{5}{9} + 3 \times \frac{5}{9} = \frac{6 - 10 + 15}{9} = \frac{11}{9} \neq 12$$

Donc $G \notin (E)$.

1 Énoncé