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Exercice 2

Barycentre - Ensemble de points Niveau : Moyen

1 Énoncé

On considère dans le plan un triangle $ABC$ tel que :

$$AB = 7\text{ cm}, \quad BC = 4\text{ cm}, \quad AC = 5\text{ cm}$$

Soit $I$ le milieu de $[BC]$.

Montrer que $AI = \sqrt{33}\text{ cm}$.

✅ Solution détaillée

Rappel

Théorème de la médiane : Dans un triangle $ABC$, si $I$ est le milieu de $[BC]$, alors :

$$AB^2 + AC^2 = 2(AI^2 + BI^2)$$

Ou encore :

$$AI^2 = \frac{AB^2 + AC^2}{2} - \frac{BC^2}{4}$$

Étape 1 : On applique le théorème de la médiane :

$$AB^2 + AC^2 = 2(AI^2 + BI^2)$$

Étape 2 : On a $BI = \frac{BC}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Étape 3 : On remplace :

$$7^2 + 5^2 = 2(AI^2 + 2^2)$$ $$49 + 25 = 2(AI^2 + 4)$$ $$74 = 2AI^2 + 8$$ $$2AI^2 = 66$$ $$AI^2 = 33$$

Étape 4 : Donc :

$$AI = \sqrt{33}\text{ cm}$$

Conclusion

On a bien $AI = \sqrt{33}$ cm. ✅

Triangle ABC avec AI = √33

2) a)

Soit $M$ un point du plan. Pour quelle valeur du réel $m$ le vecteur $m\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ est-il égal à un vecteur $\vec{u}$ indépendant du point $M$ ?
Déterminer alors $\vec{u}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AI}$.

✅ Solution détaillée

Rappel

Pour que $m\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ soit indépendant de $M$, il faut que la somme des coefficients soit nulle.

Étape 1 : On écrit les vecteurs à partir d'un point fixe $O$ quelconque :

$$m\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = m(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM})$$

Étape 2 : On développe :

$$= m\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - (m + 1 + 1)\overrightarrow{OM}$$ $$= m\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - (m + 2)\overrightarrow{OM}$$

Étape 3 : Pour que ce vecteur soit indépendant de $M$, il faut que le coefficient de $\overrightarrow{OM}$ soit nul :

$$m + 2 = 0 \iff m = -2$$

Étape 4 : Pour $m = -2$, on a :

$$-2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = -2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$$

Étape 5 : On choisit $O = A$ :

$$-2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$

Étape 6 : Or $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}$ (puisque $I$ est le milieu de $[BC]$).

Conclusion

Pour $m = -2$, on a :

$$-2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{AI}$$

Donc $\vec{u} = 2\overrightarrow{AI}$.

2) b)

Déterminer et construire l'ensemble $F$ des points $M$ du plan tels que :

$$-MA^2 + MB^2 + MC^2 = -25$$

✅ Solution détaillée

Rappel

Si $G = \text{Bar}\{(A,\alpha); (B,\beta); (C,\gamma)\}$ alors :

$$\alpha MA^2 + \beta MB^2 + \gamma MC^2 = (\alpha + \beta + \gamma) MG^2 + \alpha GA^2 + \beta GB^2 + \gamma GC^2$$

Étape 1 : On a $-MA^2 + MB^2 + MC^2 = -25$.
Les coefficients sont : $\alpha = -1$, $\beta = 1$, $\gamma = 1$.

Étape 2 : Soit $G = \text{Bar}\{(A,-1); (B,1); (C,1)\}$.
La somme des poids est : $-1 + 1 + 1 = 1 \neq 0$.

Étape 3 : On a $G$ défini par :

$$-\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$

Étape 4 : On utilise la formule de réduction :

$$-MA^2 + MB^2 + MC^2 = 1 \times MG^2 - GA^2 + GB^2 + GC^2$$

Étape 5 : Calculons $GA^2$, $GB^2$, $GC^2$.
Pour cela, on place un repère adapté.

Étape 6 : On utilise le repère $(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$.
On a $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;1)$.
Mais ici, les longueurs ne sont pas unitaires. On va utiliser les coordonnées réelles.

Étape 7 : On place le repère avec $A(0;0)$.
On a $B(7;0)$.
$C$ est tel que $AC = 5$ et $BC = 4$.
Soit $C(x;y)$.

Étape 8 : $AC^2 = x^2 + y^2 = 25$
$BC^2 = (x-7)^2 + y^2 = 16$
Donc : $x^2 + y^2 - 14x + 49 = 16$
$25 - 14x + 49 = 16$
$-14x + 74 = 16$
$-14x = -58$
$x = \frac{58}{14} = \frac{29}{7}$

Étape 9 : $y^2 = 25 - \left(\frac{29}{7}\right)^2 = 25 - \frac{841}{49} = \frac{1225 - 841}{49} = \frac{384}{49}$
$y = \frac{8\sqrt{6}}{7}$

Étape 10 : On a $A(0;0)$, $B(7;0)$, $C\left(\frac{29}{7}; \frac{8\sqrt{6}}{7}\right)$.

Étape 11 : On calcule $G = \text{Bar}\{(A,-1); (B,1); (C,1)\}$ :

$$x_G = \frac{-1 \times 0 + 1 \times 7 + 1 \times \frac{29}{7}}{-1+1+1} = 7 + \frac{29}{7} = \frac{49 + 29}{7} = \frac{78}{7}$$ $$y_G = \frac{-1 \times 0 + 1 \times 0 + 1 \times \frac{8\sqrt{6}}{7}}{-1+1+1} = \frac{8\sqrt{6}}{7}$$

Étape 12 : On calcule $-GA^2 + GB^2 + GC^2$ :

$$GA^2 = \left(\frac{78}{7}\right)^2 + \left(\frac{8\sqrt{6}}{7}\right)^2 = \frac{6084}{49} + \frac{384}{49} = \frac{6468}{49}$$ $$GB^2 = \left(\frac{78}{7} - 7\right)^2 + \left(\frac{8\sqrt{6}}{7}\right)^2 = \left(\frac{29}{7}\right)^2 + \frac{384}{49} = \frac{841}{49} + \frac{384}{49} = \frac{1225}{49} = 25$$ $$GC^2 = \left(\frac{78}{7} - \frac{29}{7}\right)^2 + \left(\frac{8\sqrt{6}}{7} - \frac{8\sqrt{6}}{7}\right)^2 = \left(\frac{49}{7}\right)^2 = 49$$

Étape 13 : Donc :

$$-GA^2 + GB^2 + GC^2 = -\frac{6468}{49} + 25 + 49 = -\frac{6468}{49} + 74 = -\frac{6468}{49} + \frac{3626}{49} = -\frac{2842}{49} = -58$$

Étape 14 : L'équation devient :

$$MG^2 - 58 = -25$$ $$MG^2 = 33$$ $$MG = \sqrt{33}$$

Conclusion

L'ensemble $F$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $r = \sqrt{33}$.

$$F = \mathcal{C}(G, \sqrt{33})$$

Remarque : $AI = \sqrt{33}$, donc le rayon est égal à la médiane $AI$.

Cercle de centre G et de rayon AI = √33

Exercice 1 Exercice 3