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Exercice 11

Concours des hauteurs - Produit scalaire Niveau : Moyen

1 Énoncé

Soit $ABC$ un triangle. Pour tout point $M$ du plan, montrer l'égalité :

$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$

✅ Solution détaillée

Rappel

On utilise la relation de Chasles pour exprimer les vecteurs à partir d'un même point.

Étape 1 : On écrit les vecteurs $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{AB}$ à partir de $M$ :

$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$

Mais une meilleure approche : on utilise la relation de Chasles en introduisant un point $O$ fixe.

Étape 2 : On pose $O$ un point fixe quelconque.
On a $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}$, etc.

Étape 3 : On remplace :

$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB}$$ $$= (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OM}) \cdot \overrightarrow{BC} + (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OM}) \cdot \overrightarrow{CA} + (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OM}) \cdot \overrightarrow{AB}$$

Étape 4 : On développe :

$$= \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{OM} \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB})$$

Étape 5 : On a $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ (relation de Chasles).

Étape 6 : Il reste donc :

$$= \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB}$$

Étape 7 : On choisit $O = A$ :

$$= \overrightarrow{AA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$ $$= 0 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}$$ $$= \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AC})$$ $$= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{0} = 0$$

Conclusion

$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$

L'égalité est démontrée. ✅

Application : montrer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.

Indication : On appelle $H$ le point d'intersection de deux hauteurs. Montrer que $H$ appartient aussi à la troisième hauteur.

✅ Solution détaillée

Rappel

Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Par exemple, la hauteur issue de $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(BC)$.

Étape 1 : Soit $H$ le point d'intersection des hauteurs issues de $A$ et de $B$.
Donc $H \in (AH)$ et $H \in (BH)$.

Étape 2 : Puisque $H$ est sur la hauteur issue de $A$, on a :

$$(AH) \perp (BC) \iff \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$

Étape 3 : Puisque $H$ est sur la hauteur issue de $B$, on a :

$$(BH) \perp (CA) \iff \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CA} = 0$$

Étape 4 : On applique l'égalité de la question 1 avec $M = H$ :

$$\overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$

Étape 5 : On a $\overrightarrow{HA} = -\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{HB} = -\overrightarrow{BH}$.

$$-\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$

Étape 6 : D'après les étapes 2 et 3, les deux premiers termes sont nuls :

$$\overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$

Étape 7 : Cela signifie que $(CH) \perp (AB)$.
Donc $H$ appartient à la hauteur issue de $C$.

Conclusion

Les trois hauteurs du triangle $ABC$ sont concourantes en un point $H$.

$H$ est appelé l'orthocentre du triangle.

Résumé

L'orthocentre $H$ est caractérisé par :

$$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$

C'est le point d'intersection des trois hauteurs.

Triangle ABC avec ses trois hauteurs concourantes en H (orthocentre)

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