Rappel
Pour tout vecteur $\vec{u}$, on a : $\|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$.
La relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$.
Étape 1 : On exprime chaque vecteur en fonction de $\overrightarrow{AC}$ et d'un autre vecteur.
Étape 2 : On a :
$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC}$$
Cette voie est trop complexe. Cherchons une décomposition plus simple.
Étape 3 : On utilise la relation de Chasles pour écrire chaque vecteur à partir de $A$ :
$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$$
$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$$
Étape 4 : On calcule $AB^2$ :
$$AB^2 = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB})$$
$$= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB}$$
Étape 5 : On calcule $AD^2$ :
$$AD^2 = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD} \cdot (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD})$$
$$= \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CD}$$
Étape 6 : On calcule $CD^2$ :
$$CD^2 = \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CD} \cdot (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD})$$
$$= \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AD}$$
Étape 7 : On calcule $CB^2$ :
$$CB^2 = \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CB} \cdot (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB})$$
$$= \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$$
Étape 8 : On fait la différence $(AB^2 + CD^2) - (AD^2 + CB^2)$ :
$$= (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AD})$$
$$- (\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB})$$
Étape 9 : On simplifie (les termes $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB}$ s'annulent) :
$$= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA}$$
$$= (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) \cdot \overrightarrow{AC} + (\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB}) \cdot \overrightarrow{CA}$$
Étape 10 : On a $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BD}$.
$$= \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{CA}$$
Étape 11 : On a $\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$.
$$= \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AC} + (-\overrightarrow{DB}) \cdot (-\overrightarrow{AC})$$
$$= \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AC}$$
$$= 2\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AC}$$
Conclusion
$$(AB^2 + CD^2) - (AD^2 + CB^2) = 2\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AC}$$
L'identité est démontrée. ✅
Astuce
Une méthode plus rapide consiste à utiliser la formule :
$$\|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$$
En posant $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{v} = \overrightarrow{AD}$, etc.
Quadrilatère ABCD avec les vecteurs DB et AC
