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Exercice 6

Distance d'un point à une droite Niveau : Facile

1 Énoncé

Calculer la distance $d$ du point $A$ à la droite $D$ sachant que :

$$D : -x + 4y - 2 = 0 \quad \text{et} \quad A(-1; 3)$$

Calculer la distance $d$ du point $A$ à la droite $D$.

✅ Solution détaillée

Rappel

La distance d'un point $A(x_0; y_0)$ à une droite d'équation $ax + by + c = 0$ est :

$$d(A, D) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Étape 1 : On identifie les coefficients :

$$a = -1, \quad b = 4, \quad c = -2$$

Étape 2 : On identifie les coordonnées de $A$ :

$$x_0 = -1, \quad y_0 = 3$$

Étape 3 : On calcule $ax_0 + by_0 + c$ :

$$-1(-1) + 4(3) - 2 = 1 + 12 - 2 = 11$$

Étape 4 : On calcule $\sqrt{a^2 + b^2}$ :

$$\sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$$

Étape 5 : On applique la formule :

$$d = \frac{|11|}{\sqrt{17}} = \frac{11}{\sqrt{17}} = \frac{11\sqrt{17}}{17}$$

Conclusion

La distance du point $A(-1; 3)$ à la droite $D$ est :

$$d = \frac{11\sqrt{17}}{17} \approx 2.668$$

Distance du point A à la droite D

Exercice 5 Exercice 7