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Exercice 5

Plan tangent à une sphère Niveau : Moyen

1 Énoncé

Vérifier que $A(4; -1; 2)$ est un point de la sphère $S$ ; écrire une équation du plan tangent en $A$ à $S$.

$$S : x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y + 4z - 3 = 0$$
1)

Vérifier que $A(4; -1; 2)$ est un point de la sphère $S$.

✅ Solution détaillée
Étape 1 : On remplace les coordonnées de $A$ dans l'équation de la sphère :
$$x_A = 4, \quad y_A = -1, \quad z_A = 2$$
Étape 2 : On calcule :
$$4^2 + (-1)^2 + 2^2 - 6(4) + 2(-1) + 4(2) - 3$$
Étape 3 : On développe :
$$= 16 + 1 + 4 - 24 - 2 + 8 - 3$$ $$= 21 - 24 - 2 + 8 - 3$$ $$= -3 - 2 + 8 - 3$$ $$= -5 + 8 - 3 = 0$$
Étape 4 : Le résultat est $0$, donc $A$ satisfait l'équation.
Conclusion

$A(4; -1; 2)$ appartient bien à la sphère $S$. ✅

2)

Écrire une équation du plan tangent en $A$ à $S$.

✅ Solution détaillée
Rappel

Pour une sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$ :

  • Le centre est $I\left(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}; -\frac{c}{2}\right)$
  • Le plan tangent en $A(x_A; y_A; z_A)$ a pour équation :
$$(x_A + \frac{a}{2})(x - x_A) + (y_A + \frac{b}{2})(y - y_A) + (z_A + \frac{c}{2})(z - z_A) = 0$$
Étape 1 : On identifie les coefficients :
$$a = -6, \quad b = 2, \quad c = 4, \quad d = -3$$
Étape 2 : On calcule le centre $I$ de la sphère :
$$I\left(\frac{6}{2}; -\frac{2}{2}; -\frac{4}{2}\right) = I(3; -1; -2)$$
Étape 3 : Le vecteur $\overrightarrow{IA}$ est normal au plan tangent :
$$\overrightarrow{IA} = \begin{pmatrix} 4-3 \\ -1-(-1) \\ 2-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$$
Étape 4 : Une équation du plan tangent est :
$$1(x - 4) + 0(y + 1) + 4(z - 2) = 0$$
Étape 5 : On simplifie :
$$(x - 4) + 4(z - 2) = 0$$ $$x - 4 + 4z - 8 = 0$$ $$x + 4z - 12 = 0$$
Étape 6 : Vérification : $A(4; -1; 2)$ satisfait l'équation :
$$4 + 4(2) - 12 = 4 + 8 - 12 = 0 \quad \text{✅}$$
Conclusion

Le plan tangent en $A$ à la sphère $S$ est :

$$T : x + 4z - 12 = 0$$

(Le plan tangent est parallèle à l'axe des y)

Méthode alternative

On peut aussi utiliser la formule directe :

$$(x_A + \frac{a}{2})(x - x_A) + (y_A + \frac{b}{2})(y - y_A) + (z_A + \frac{c}{2})(z - z_A) = 0$$

On a : $x_A + \frac{a}{2} = 4 - 3 = 1$

$y_A + \frac{b}{2} = -1 + 1 = 0$

$z_A + \frac{c}{2} = 2 + 2 = 4$

Donc : $1(x-4) + 0(y+1) + 4(z-2) = 0$

Soit : $x + 4z - 12 = 0$

Sphère S et plan tangent T : x + 4z - 12 = 0

Exercice 4 Exercice 6