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Exercice 8

Tétraèdre - Milieux - Quadrilatère Niveau : Difficile

1 Énoncé

$ABCD$ est un tétraèdre, tel que $AB = CD = a$.

On appelle $I$, $J$, $K$ et $L$ les milieux respectifs de $[AD]$, $[BC]$, $[AC]$ et $[BD]$.

Montrer que $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{IJ}$ et que $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{KL}$.

✅ Solution détaillée

Rappel

Pour un milieu $M$ de $[AB]$, on a : $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ pour tout point $O$.

1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{IJ}$

Étape 1 : $I$ est le milieu de $[AD]$, donc pour tout point $O$ :

$$\overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD})$$

Étape 2 : $J$ est le milieu de $[BC]$, donc :

$$\overrightarrow{OJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$$

Étape 3 : On calcule $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{OJ} - \overrightarrow{OI}$ :

$$\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OD})$$ $$= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC})$$

Étape 4 : D'où :

$$2\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}$$

2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{KL}$

Étape 1 : $K$ est le milieu de $[AC]$, donc :

$$\overrightarrow{OK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})$$

Étape 2 : $L$ est le milieu de $[BD]$, donc :

$$\overrightarrow{OL} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})$$

Étape 3 : On calcule $\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{OL} - \overrightarrow{OK}$ :

$$\overrightarrow{KL} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC})$$ $$= \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC})$$

Étape 4 : D'où :

$$2\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC}$$

Conclusion
                                    $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{IJ} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{KL}$$
                                

Montrer que $(IJ)$ et $(KL)$ sont sécantes et orthogonales.

✅ Solution détaillée

Étape 1 : D'après la question 1, on a :

$$\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC})$$ $$\overrightarrow{KL} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC})$$

Étape 2 : On calcule le produit scalaire $\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{KL}$ :

$$\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{KL} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}) \cdot (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC})$$ $$= \frac{1}{4}\left(AB^2 - DC^2\right)$$

Étape 3 : On sait que $AB = CD = a$, donc $AB^2 = CD^2$.
Donc $AB^2 - DC^2 = 0$.

Étape 4 : Ainsi :

$$\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{KL} = 0$$

Étape 5 : Les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont donc orthogonales.

Étape 6 : Montrons qu'elles sont sécantes.
Soit $O$ le milieu de $[IJ]$ et $[KL]$.
On a :

$$\overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC})$$ $$\overrightarrow{OK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{KL} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC})$$

Étape 7 : On a $\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
Donc $O$ est le milieu commun de $[IJ]$ et $[KL]$.

Conclusion

Les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont sécantes en leur milieu commun $O$ et orthogonales.

Tétraèdre ABCD avec les milieux I, J, K, L

Quelle est la nature du quadrilatère $IKJL$ ? Calculer la longueur de ses côtés en fonction de $a$.

✅ Solution détaillée

Étape 1 : On étudie les côtés du quadrilatère $IKJL$.

Étape 2 : $I$ est le milieu de $[AD]$ et $K$ est le milieu de $[AC]$.
Dans le triangle $ADC$, $(IK)$ est une droite des milieux.
Donc :

$$IK = \frac{DC}{2} = \frac{a}{2} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$$

Étape 3 : $J$ est le milieu de $[BC]$ et $L$ est le milieu de $[BD]$.
Dans le triangle $BCD$, $(JL)$ est une droite des milieux.
Donc :

$$JL = \frac{DC}{2} = \frac{a}{2} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{JL} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$$

Étape 4 : $I$ est le milieu de $[AD]$ et $L$ est le milieu de $[BD]$.
Dans le triangle $ABD$, $(IL)$ est une droite des milieux.
Donc :

$$IL = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{IL} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$$

Étape 5 : $J$ est le milieu de $[BC]$ et $K$ est le milieu de $[AC]$.
Dans le triangle $ABC$, $(JK)$ est une droite des milieux.
Donc :

$$JK = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{JK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$$

Étape 6 : On a $IK = JL = IL = JK = \frac{a}{2}$.
De plus, $\overrightarrow{IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{JK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Étape 7 : Les quatre côtés sont égaux, donc $IKJL$ est un losange.

Conclusion

Le quadrilatère $IKJL$ est un losange.

La longueur de ses côtés est :

$$IK = JL = IL = JK = \frac{a}{2}$$

Losange IKJL inscrit dans le tétraèdre

Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $IKJL$ soit un carré.

✅ Solution détaillée

Étape 1 : $IKJL$ est un losange. Pour qu'il soit un carré, il faut que ses diagonales soient égales.

Étape 2 : Les diagonales du losange $IKJL$ sont $[IJ]$ et $[KL]$.

Étape 3 : D'après la question 1 :

$$IJ = \frac{1}{2}\|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\|$$ $$KL = \frac{1}{2}\|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC}\|$$

Étape 4 : La condition $IJ = KL$ donne :

$$\|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\| = \|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DC}\|$$

Étape 5 : En élevant au carré :

$$AB^2 + DC^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = AB^2 + DC^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}$$ $$4\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 0$$ $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 0$$

Étape 6 : Donc $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{DC}$.

Conclusion

$IKJL$ est un carré si et seulement si :

$$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{DC}$$

c'est-à-dire si les arêtes $AB$ et $DC$ sont orthogonales.

Remarque

Puisque $AB = CD = a$, la condition $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 0$ est équivalente à :

$$AB \perp CD$$

Les diagonales $[IJ]$ et $[KL]$ sont alors égales, et le losange devient un carré.

Exercice 7 Exercice 9