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Exercice 9

Produit scalaire de deux vecteurs Niveau : Facile

1 Énoncé

Soit $\vec{u} = (\sqrt{2}-1; 1; \sqrt{2}+1)$ et $\vec{v} = (1; \sqrt{2}+1; -4+2\sqrt{2})$.

1)

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ; qu'en déduit-on pour $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

✅ Solution détaillée
Rappel

Si $\vec{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}$ alors :

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$$
Étape 1 : On identifie les coordonnées :
$$u_1 = \sqrt{2}-1, \quad u_2 = 1, \quad u_3 = \sqrt{2}+1$$ $$v_1 = 1, \quad v_2 = \sqrt{2}+1, \quad v_3 = -4+2\sqrt{2}$$
Étape 2 : On applique la formule du produit scalaire :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\sqrt{2}-1)(1) + (1)(\sqrt{2}+1) + (\sqrt{2}+1)(-4+2\sqrt{2})$$
Étape 3 : On calcule chaque terme :
$$(\sqrt{2}-1)(1) = \sqrt{2}-1$$ $$(1)(\sqrt{2}+1) = \sqrt{2}+1$$ $$(\sqrt{2}+1)(-4+2\sqrt{2}) = (\sqrt{2}+1)(-4) + (\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2})$$ $$= -4\sqrt{2} - 4 + 4 + 2\sqrt{2} = -2\sqrt{2}$$
Étape 4 : On additionne :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1) + (-2\sqrt{2})$$ $$= \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} + 1 - 2\sqrt{2}$$ $$= 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + (-1+1) = 0$$
Étape 5 : Puisque $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
Conclusion
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Vecteurs orthogonaux dans l'espace

2)

Vérifier ce résultat par un autre calcul.

✅ Solution détaillée
Rappel

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Pour vérifier, on peut aussi utiliser la relation :

$$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$$
Étape 1 : On calcule $\|\vec{u}\|^2$ :
$$\|\vec{u}\|^2 = (\sqrt{2}-1)^2 + 1^2 + (\sqrt{2}+1)^2$$ $$= (2 - 2\sqrt{2} + 1) + 1 + (2 + 2\sqrt{2} + 1)$$ $$= (3 - 2\sqrt{2}) + 1 + (3 + 2\sqrt{2})$$ $$= 7$$
Étape 2 : On calcule $\|\vec{v}\|^2$ :
$$\|\vec{v}\|^2 = 1^2 + (\sqrt{2}+1)^2 + (-4+2\sqrt{2})^2$$ $$= 1 + (3 + 2\sqrt{2}) + (16 - 16\sqrt{2} + 8)$$ $$= 1 + 3 + 2\sqrt{2} + 16 - 16\sqrt{2} + 8$$ $$= 28 - 14\sqrt{2}$$
Étape 3 : On calcule $\vec{u} + \vec{v}$ :
$$\vec{u} + \vec{v} = (\sqrt{2}-1+1; 1+\sqrt{2}+1; \sqrt{2}+1-4+2\sqrt{2})$$ $$= (\sqrt{2}; \sqrt{2}+2; 3\sqrt{2}-3)$$
Étape 4 : On calcule $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ :
$$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2}+2)^2 + (3\sqrt{2}-3)^2$$ $$= 2 + (2 + 4\sqrt{2} + 4) + (18 - 18\sqrt{2} + 9)$$ $$= 2 + 6 + 4\sqrt{2} + 27 - 18\sqrt{2}$$ $$= 35 - 14\sqrt{2}$$
Étape 5 : On vérifie l'identité :
$$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$$
$$35 - 14\sqrt{2} = 7 + (28 - 14\sqrt{2}) + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$$ $$35 - 14\sqrt{2} = 35 - 14\sqrt{2} + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$$ $$2\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$
Étape 6 : On a retrouvé le même résultat.
Conclusion

Le résultat est vérifié : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont bien orthogonaux. ✅

Astuce

Une autre méthode de vérification consiste à remarquer que :

$$(\sqrt{2}-1)(1) = \sqrt{2}-1$$ $$(\sqrt{2}+1)^2 = 3 + 2\sqrt{2}$$ $$(\sqrt{2}+1)(-4+2\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$$

La somme est bien nulle.

Exercice 8 Exercice 10