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Partie 3 : Transformations trigonométriques

Table des matières

1 Transformation de $a\cos x + b\sin x$

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux réels non tous les deux nuls. Pour tout réel $x$, on a :

$a\cos x + b\sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(x - \varphi)$

où $\varphi$ est déterminé par :

$\cos\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ et $\sin\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Ou encore :

$a\cos x + b\sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha)$

où $\alpha$ est déterminé par :

$\sin\alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ et $\cos\alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
Exemple

Transformer $\cos x - \sin x$.

1 : $a = 1$, $b = -1$
2 : $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
3 : $\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\varphi = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
4 : Donc $\varphi = -\dfrac{\pi}{4}$
5 : $\cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$

Résultat : $\cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$

Exemple 2

Transformer $\sqrt{3}\cos x + \sin x$.

1 : $a = \sqrt{3}$, $b = 1$
2 : $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$
3 : $\cos\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi = \dfrac{1}{2}$
4 : Donc $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$
5 : $\sqrt{3}\cos x + \sin x = 2 \cos\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)$

Résultat : $\sqrt{3}\cos x + \sin x = 2 \cos\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)$

Graphique de $y = \cos x - \sin x$

Résumé
  • Cette transformation est très utile pour résoudre les équations de la forme $a\cos x + b\sin x = c$.
  • Elle permet aussi d'étudier les fonctions de la forme $x \mapsto a\cos x + b\sin x$.

2 Transformation : Somme en produit

Propriété

Pour tous réels $p$ et $q$, on a :

$\sin p + \sin q = 2\sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$
$\sin p - \sin q = 2\cos\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$
$\cos p + \cos q = 2\cos\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$
$\cos p - \cos q = -2\sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$
Exemple 1

Transformer en produit : $A(x) = \sin 2x + \sin 4x$.

1 : $A(x) = \sin 2x + \sin 4x$
2 : $= 2\sin\left(\dfrac{2x+4x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{2x-4x}{2}\right)$
3 : $= 2\sin(3x)\cos(-x)$
4 : $= 2\sin(3x)\cos x$

Résultat : $\sin 2x + \sin 4x = 2\sin 3x \cos x$

Exemple 2

Transformer en produit : $B(x) = \cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x$.

1 : $B(x) = (\cos x + \cos 3x) + (\cos 2x + \cos 4x)$
2 : $= 2\cos(2x)\cos(-x) + 2\cos(3x)\cos(-x)$
3 : $= 2\cos x(\cos 2x + \cos 3x)$
4 : $= 2\cos x \times 2\cos\left(\dfrac{5x}{2}\right)\cos\left(-\dfrac{x}{2}\right)$
5 : $= 4\cos x \cos\left(\dfrac{5x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Résultat : $B(x) = 4\cos x \cos\left(\dfrac{5x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Illustration de $\cos p + \cos q = 2\cos\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$

Résumé
  • Ces formules transforment une somme de deux lignes trigonométriques en un produit.
  • Elles sont très utiles pour résoudre des équations trigonométriques.

3 Transformation : Produit en somme (Linéarisation)

Propriété

Pour tous réels $x$ et $y$, on a :

$\cos x \cos y = \dfrac{1}{2}[\cos(x+y) + \cos(x-y)]$
$\sin x \sin y = -\dfrac{1}{2}[\cos(x+y) - \cos(x-y)]$
$\sin x \cos y = \dfrac{1}{2}[\sin(x+y) + \sin(x-y)]$
Exemple 1

Linéariser : $C(x) = \cos 2x \times \sin 4x$.

1 : $C(x) = \sin 4x \cos 2x$
2 : $= \dfrac{1}{2}[\sin(4x+2x) + \sin(4x-2x)]$
3 : $= \dfrac{1}{2}[\sin 6x + \sin 2x]$

Résultat : $\cos 2x \sin 4x = \dfrac{1}{2}(\sin 6x + \sin 2x)$

Exemple 2

Linéariser : $D(x) = \sin x \times \sin 3x$.

1 : $D(x) = \sin x \sin 3x$
2 : $= -\dfrac{1}{2}[\cos(x+3x) - \cos(x-3x)]$
3 : $= -\dfrac{1}{2}[\cos 4x - \cos(-2x)]$
4 : $= -\dfrac{1}{2}[\cos 4x - \cos 2x]$
5 : $= \dfrac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x)$

Résultat : $\sin x \sin 3x = \dfrac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x)$

Exemple 3

Calculer $E = \cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) \times \cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$.

1 : $E = \dfrac{1}{2}\left[\cos\left(\dfrac{7\pi}{12} + \dfrac{5\pi}{12}\right) + \cos\left(\dfrac{7\pi}{12} - \dfrac{5\pi}{12}\right)\right]$
2 : $= \dfrac{1}{2}\left[\cos(\pi) + \cos\left(\dfrac{2\pi}{12}\right)\right]$
3 : $= \dfrac{1}{2}\left[-1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right]$
4 : $= \dfrac{1}{2}\left[-1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] = \dfrac{\sqrt{3} - 2}{4}$

Résultat : $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{3} - 2}{4}$

Résumé
  • Ces formules transforment un produit de deux lignes trigonométriques en une somme.
  • On parle aussi de linéarisation.
  • Utile pour calculer des intégrales ou simplifier des expressions.

4 Exercices d'application

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x = 0$.

1 : $(\sin x + \sin 7x) + (\sin 3x + \sin 5x) = 0$
2 : $2\sin(4x)\cos(3x) + 2\sin(4x)\cos(x) = 0$
3 : $2\sin(4x)[\cos 3x + \cos x] = 0$
4 : $2\sin(4x) \times 2\cos(2x)\cos(x) = 0$
5 : $4\sin(4x)\cos(2x)\cos(x) = 0$

Donc :

$\sin(4x) = 0$ : $4x = k\pi \Rightarrow x = \dfrac{k\pi}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$
$\cos(2x) = 0$ : $2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$
$\cos(x) = 0$ : $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Ensemble des solutions : $S = \left\{\dfrac{k\pi}{4} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$

Exercice 2

Montrer que : $\dfrac{\cos 2x - \cos 4x}{\cos 2x + \cos 4x} = \tan 3x \times \tan x$.

1 : $\cos 2x - \cos 4x = -2\sin(3x)\sin(-x) = 2\sin(3x)\sin x$
2 : $\cos 2x + \cos 4x = 2\cos(3x)\cos(-x) = 2\cos(3x)\cos x$
3 : $\dfrac{\cos 2x - \cos 4x}{\cos 2x + \cos 4x} = \dfrac{2\sin(3x)\sin x}{2\cos(3x)\cos x} = \tan(3x) \times \tan x$

Conclusion : L'égalité est démontrée.

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