1 Définition d'une suite arithmétique
Définition
On appelle suite arithmétique toute suite $(u_n)_{n\in I}$ définie par son premier terme et par la relation :
$$\forall n \in I,\ u_{n+1} = u_n + r$$
où $r$ est un réel fixe appelé la raison de la suite.
Le premier terme et la raison sont les éléments caractéristiques de la suite arithmétique.
Exemples
- $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = u_n - 3 \end{cases}$ est arithmétique de raison $r = -3$ et de premier terme $u_0 = 2$.
- La suite des entiers naturels pairs : $0, 2, 4, 6, 8, \dots$ est arithmétique de raison $r = 2$.
- La suite des entiers naturels impairs : $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ est arithmétique de raison $r = 2$.
Contre-exemple
La suite $(v_n)$ définie par $v_n = n^2 + 2$ n'est pas arithmétique.
Vérification : $v_1 - v_0 = 3 - 2 = 1$ et $v_2 - v_1 = 6 - 3 = 3$
Conclusion : La différence n'est pas constante, donc $(v_n)$ n'est pas arithmétique.
Résumé
- Une suite arithmétique est définie par $u_{n+1} = u_n + r$.
- La raison $r$ est constante.
- Si $r > 0$ : la suite est strictement croissante.
- Si $r < 0$ : la suite est strictement décroissante.
- Si $r = 0$ : la suite est constante.
2 Propriété caractéristique
Propriété
Soit $(u_n)_{n\ge p}$ une suite. Elle est arithmétique si et seulement si :
$$\forall n \ge p,\ 2u_{n+1} = u_n + u_{n+2}$$
Autrement dit : trois termes consécutifs $a, b, c$ sont en progression arithmétique ssi :
$$2b = a + c$$
Application
Déterminer le réel $x$ pour que les nombres $(3x-1)$, $(1-4x)$ et $(x-5)$ soient trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.
1 : $2(1-4x) = (3x-1) + (x-5)$
2 : $2 - 8x = 4x - 6$
3 : $8 = 12x$ donc $x = \dfrac{2}{3}$
Conclusion : $x = \frac{2}{3}$. Les termes sont : $1$, $-\frac{5}{3}$, $-\frac{13}{3}$. La raison est $r = -\frac{8}{3}$.
Résumé
- Trois termes consécutifs d'une suite arithmétique vérifient $2b = a + c$.
- Cette propriété permet de déterminer des termes inconnus.
3 Terme général d'une suite arithmétique
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_p$. Alors :
$$\forall n \ge p,\ u_n = u_p + (n-p)r$$
Démonstration
Par récurrence ou par somme des différences successives :
1 : $u_{p+1} = u_p + r$
2 : $u_{p+2} = u_{p+1} + r = u_p + 2r$
3 : $u_{p+3} = u_{p+2} + r = u_p + 3r$
... : $u_n = u_p + (n-p)r$
Cas particuliers
- Si $p = 0$ : $u_n = u_0 + nr$
- Si $p = 1$ : $u_n = u_1 + (n-1)r$
Application 1
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_1 = 3$ et $u_5 = 9$.
1) Déterminer la raison $r$.
1 : $u_5 = u_1 + (5-1)r$
2 : $9 = 3 + 4r$
3 : $4r = 6$ donc $r = \dfrac{3}{2}$
2) Déterminer $u_0$.
1 : $u_1 = u_0 + r$
2 : $3 = u_0 + \dfrac{3}{2}$ donc $u_0 = \dfrac{3}{2}$
3) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
1 : $u_n = u_1 + (n-1) \times \dfrac{3}{2} = 3 + \dfrac{3}{2}(n-1)$
2 : $u_n = \dfrac{3}{2}n + \dfrac{3}{2}$
Conclusion : $u_n = \dfrac{3}{2}n + \dfrac{3}{2}$.
Résumé
- $u_n = u_p + (n-p)r$
- Pour trouver $r$ : $r = \dfrac{u_n - u_p}{n-p}$
- Pour trouver $u_p$ : utiliser la formule avec un terme connu.
4 Somme des termes consécutifs
Propriété
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique. La somme $S_n$ des termes de $u_p$ à $u_n$ est :
$$S_n = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = \dfrac{(n-p+1)(u_p + u_n)}{2}$$
où $(n-p+1)$ est le nombre de termes.
Démonstration
Soit $S_n = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n$.
En écrivant la somme dans l'autre sens :
1 : $S_n = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n$
2 : $S_n = u_n + u_{n-1} + \cdots + u_p$
3 : En additionnant : $2S_n = (u_p+u_n) \times (n-p+1)$
4 : $S_n = \dfrac{(n-p+1)(u_p+u_n)}{2}$
Exemple : Somme des entiers
Calculer $S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$.
La suite $u_n = n$ est arithmétique de raison $r=1$ avec $u_1 = 1$ et $u_n = n$.
1 : $S_n = \dfrac{n(1+n)}{2}$
Résultat : $\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$
Exemple : Somme des entiers impairs
Calculer $S_n' = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n+1)$.
La suite $u_n = 2n+1$ est arithmétique de raison $r=2$ avec $u_0 = 1$ et $u_n = 2n+1$.
1 : $S_n' = \dfrac{(n+1)(1+2n+1)}{2} = \dfrac{(n+1)(2n+2)}{2} = (n+1)^2$
Résultat : $\sum_{k=0}^{n} (2k+1) = (n+1)^2$
Exemple concret
Une entreprise possède 40 camions en décembre 1991. Elle achète 8 camions supplémentaires chaque année.
1) Nombre de camions en 1992, 1993, 1994 : 48, 56, 64.
2) La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_1 = 40$ et de raison $r = 8$.
3) $u_n = 40 + (n-1) \times 8 = 8n + 32$.
4) En 2002 ($n=12$), $u_{12} = 8 \times 12 + 32 = 128$ camions.
Résumé
- $S = \dfrac{\text{(nombre de termes)} \times \text{(premier terme + dernier terme)}}{2}$
- Nombre de termes = $n-p+1$
- Formule pratique : $S = \dfrac{n \times (u_1 + u_n)}{2}$ pour la somme des $n$ premiers termes.
