Série 3 - Barycentre

9 Exercice 9

En utilisant la propriété d'associativité, construire le barycentre $G$ du système pondéré $\{(A, 2); (B, -3); (C, 5)\}$.

Solution

✅ Solution détaillée

Étape 1 : Soit $E = \text{Bar}\{(A, 2); (B, -3)\}$.
La somme des poids est : $2 + (-3) = -1 \neq 0$ ✅

Étape 2 : On construit $E$ :

$$2\overrightarrow{EA} - 3\overrightarrow{EB} = 0 \iff 2\overrightarrow{EA} = 3\overrightarrow{EB}$$ $$\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AB}$$

Étape 3 : D'après l'associativité :

$$G = \text{Bar}\{(E, -1); (C, 5)\}$$

Étape 4 : On construit $G$ :

$$(-1)\overrightarrow{GE} + 5\overrightarrow{GC} = 0 \iff 5\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GE}$$ $$\overrightarrow{CG} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{CE}$$

                                Conclusion
                                \(E\) est sur \((AB)\) avec \(\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AB}\)
\(G\) est sur \((CE)\) avec \(\overrightarrow{CG} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{CE}\)

                            

Construction de G par associativité

10 Exercice 10

$ABC$ un triangle, $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$, et $I$ le milieu du segment $[BC]$.
Montrer que $G$ est le barycentre de $\{(A, 1); (I, 2)\}$.

Solution

✅ Solution détaillée

Étape 1 : Le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ est le barycentre de :

$$G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 1); (C, 1)\}$$

Étape 2 : $I$ est le milieu de $[BC]$, donc :

$$I = \text{Bar}\{(B, 1); (C, 1)\}$$

Étape 3 : D'après l'associativité, on remplace $(B, 1)$ et $(C, 1)$ par $(I, 2)$ :

$$G = \text{Bar}\{(A, 1); (I, 2)\}$$

Étape 4 : Vérification :

$$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GI} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 0$$

Conclusion

$G = \text{Bar}\{(A, 1); (I, 2)\}$ c'est-à-dire $AG = \frac{2}{3}AI$.

Centre de gravité G = Bar{(A,1); (I,2)}

11 Exercice 11

$ABC$ un triangle. Pour tout point $M$, on pose : $V = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}$.

1)

Réduire l'écriture de $V$ et montrer que $V$ ne dépend pas de $M$.

✅ Solution

Étape 1 : $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}$

Étape 2 : $V = 2\overrightarrow{MA} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) - 3(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC})$

Étape 3 : $V = (2+1-3)\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}$

Étape 4 : $V = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}$

Conclusion

$V$ est un vecteur constant, indépendant de $M$.

2)

Soit $K = \text{Bar}\{(C, -3); (B, 1)\}$. Montrer que $V = 2\overrightarrow{KA}$.

✅ Solution

Étape 1 : $K = \text{Bar}\{(C, -3); (B, 1)\} \Rightarrow \overrightarrow{KB} - 3\overrightarrow{KC} = 0$

Étape 2 : $V = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KB}) - 3(\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KC})$

Étape 3 : $V = -2\overrightarrow{AK} + (\overrightarrow{KB} - 3\overrightarrow{KC}) = -2\overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{KA}$

Conclusion\(V = 2\overrightarrow{KA}\)

3)

Soit $G = \text{Bar}\{(A, 2); (B, -1); (C, -3)\}$. Montrer que : $2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{GM}$.

✅ Solution

Étape 1 : $s = 2 - 1 - 3 = -2 \neq 0$ ✅

Étape 2 : Propriété caractéristique : $2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = -2\overrightarrow{MG}$

Étape 3 : $-2\overrightarrow{MG} = 2\overrightarrow{GM}$

Conclusion\(2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{GM}\)

4)

En déduire l'ensemble des points $M$ tels que : $\|2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}\| = \|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}\|$.

✅ Solution

Étape 1 : $\|2\overrightarrow{GM}\| = \|2\overrightarrow{KA}\|$

Étape 2 : $2GM = 2KA \iff GM = KA$

Conclusion

L'ensemble est le cercle de centre $G$ et de rayon $KA$.

$\mathcal{C}(G, KA)$

Cercle de centre G et de rayon KA

12 Exercice 12

$ABC$ un triangle tel que : $AC = 6\text{ cm}$, $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 4\text{ cm}$.

a)

Construire $G = \text{Bar}\{(A, 1); (B, 2); (C, 1)\}$.

✅ Solution

Étape 1 : $s = 1+2+1 = 4 \neq 0$

Étape 2 : Soit $I$ milieu de $[BC]$, alors $G = \text{Bar}\{(A, 1); (I, 2)\}$.

Étape 3 : $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$

Conclusion

$G$ est situé aux $\frac{2}{3}$ de la médiane $AI$.

b)

Déterminer et construire l'ensemble $(E) = \{M \mid \|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = AC\}$.

✅ Solution

Étape 1 : $\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{MG}$

Étape 2 : $\|4\overrightarrow{MG}\| = 6 \iff 4MG = 6 \iff MG = 1.5$

Conclusion

$(E)$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $1.5$ cm.

c)

Déterminer et construire l'ensemble $(F) = \{M \mid \|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = \|3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MC}\|\}$.

✅ Solution

Étape 1 : Soit $G' = \text{Bar}\{(A, 3); (C, 1)\}$, alors $3\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{MG'}$.

Étape 2 : $\|4\overrightarrow{MG}\| = \|4\overrightarrow{MG'}\| \iff MG = MG'$

Conclusion

$(F)$ est la médiatrice du segment $[GG']$.

Médiatrice de [GG']