Série 4 - Barycentre

Exercices 13 à 15

13 Exercice 13

Dans le plan \((P)\) rapporté à un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\), soient \(A(-1;1)\), \(B(0;2)\), \(C(1;-1)\), \(D(1;0)\).

Déterminer les coordonnées de \(K = \text{Bar}\{(A, 2); (B, 3)\}\).

✅ Solution

Étape 1 : \(\alpha=2\), \(\beta=3\), \(\alpha+\beta=5 \neq 0\)

Étape 2 : \(x_K = \frac{2(-1)+3(0)}{5} = -\frac{2}{5}\), \(y_K = \frac{2(1)+3(2)}{5} = \frac{8}{5}\)

Conclusion\(K\left(-\frac{2}{5}; \frac{8}{5}\right)\)

Déterminer les coordonnées de \(L\) le centre de gravité du triangle \(ABC\).

✅ Solution

Étape 1 : \(L = \text{Bar}\{(A,1);(B,1);(C,1)\}\)

Étape 2 : \(x_L = \frac{-1+0+1}{3} = 0\), \(y_L = \frac{1+2-1}{3} = \frac{2}{3}\)

Conclusion\(L\left(0; \frac{2}{3}\right)\)

Déterminer les coordonnées de \(G = \text{Bar}\{(A, 2); (B, 3); (C, 1); (D, -1)\}\).

✅ Solution

Étape 1 : \(s = 2+3+1-1 = 5 \neq 0\)

Étape 2 : \(x_G = \frac{2(-1)+3(0)+1(1)+(-1)(1)}{5} = -\frac{2}{5}\)

Étape 3 : \(y_G = \frac{2(1)+3(2)+1(-1)+(-1)(0)}{5} = \frac{7}{5}\)

Conclusion\(G\left(-\frac{2}{5}; \frac{7}{5}\right)\)

Points K, L, G dans le repère

14 Exercice 14

\(ABCD\) est un quadrilatère convexe.
Soit \(H = \text{Bar}\{(A, 2); (B, 5); (C, -1)\}\)
Soit \(K = \text{Bar}\{(B, 5); (C, -1); (D, 6)\}\)
Soit \(E = \text{Bar}\{(C, -1); (B, 5)\}\)

Montrer que \(\overrightarrow{BE} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\) et construire \(E\).

✅ Solution

Étape 1 : \(E = \text{Bar}\{(C, -1); (B, 5)\}\) donc \(-\overrightarrow{MC} + 5\overrightarrow{MB} = 4\overrightarrow{ME}\)

Étape 2 : On pose \(M = B\) : \(-\overrightarrow{BC} = 4\overrightarrow{BE} \iff \overrightarrow{BE} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\)

Conclusion

\(E\) est situé à \(\frac{1}{4}\) de \(BC\) à partir de \(B\) dans le sens opposé.

Montrer que \(H = \text{Bar}\{(A, 1); (E, 2)\}\).

✅ Solution

Étape 1 : \(E = \text{Bar}\{(C, -1); (B, 5)\}\), la somme des poids de \(E\) est \(4\).

Étape 2 : D'après l'associativité : \(H = \text{Bar}\{(A, 2); (E, 4)\}\)

Étape 3 : En multipliant par \(\frac{1}{2}\) : \(H = \text{Bar}\{(A, 1); (E, 2)\}\)

Conclusion\(H = \text{Bar}\{(A, 1); (E, 2)\}\)

Montrer que \(K = \text{Bar}\{(D, -3); (E, 2)\}\).

✅ Solution

Étape 1 : \(K = \text{Bar}\{(B, 5); (C, -1); (D, 6)\}\) et \(E = \text{Bar}\{(C, -1); (B, 5)\}\)

Étape 2 : D'après l'associativité : \(K = \text{Bar}\{(E, 4); (D, 6)\}\)

Étape 3 : En divisant par \(2\) : \(K = \text{Bar}\{(E, 2); (D, 3)\}\)

Conclusion\(K = \text{Bar}\{(D, 3); (E, 2)\}\)

a) Montrer que \(D = \text{Bar}\{(K, 1); (E, 2)\}\).
b) En déduire que \((AK) \parallel (DH)\).

✅ Solution

Étape 4a : \(K = \text{Bar}\{(D, 3); (E, 2)\}\) donc pour tout point \(M\) : \(3\overrightarrow{MD} + 2\overrightarrow{ME} = 5\overrightarrow{MK}\)

Étape 4a : En posant \(M = D\) : \(2\overrightarrow{DE} = 5\overrightarrow{DK} \iff \overrightarrow{DK} = \frac{2}{5}\overrightarrow{DE}\)

Étape 4a : Donc \(D = \text{Bar}\{(K, 1); (E, 2)\}\) ✅

Étape 4b : \(H = \text{Bar}\{(A, 1); (E, 2)\}\) et \(D = \text{Bar}\{(K, 1); (E, 2)\}\)

Étape 4b : On a \(\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KH}\) ...

Étape 4b : Par la propriété caractéristique : \(\overrightarrow{3DH} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DK}\)

Étape 4b : Donc \(\overrightarrow{3DH} = \overrightarrow{AK}\)

Conclusion

\(\overrightarrow{3DH} = \overrightarrow{AK}\), donc \((AK) \parallel (DH)\).

(AK) ∥ (DH)

15 Exercice 15

\(ABC\) un triangle. \(I\), \(J\), \(K\) tels que : \(2\overrightarrow{BI} = 3\overrightarrow{BC}\), \(8\overrightarrow{CJ} = \overrightarrow{CA}\), \(5\overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{AB}\).

Montrer que \(I = \text{Bar}\left\{\left(B; \frac{1}{2}\right); \left(C; -\frac{3}{2}\right)\right\}\).

✅ Solution

Étape 1 : \(\frac{1}{2}\overrightarrow{BI} - \frac{3}{2}\overrightarrow{CI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BI} - \frac{3}{2}(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BI})\)

Étape 2 : \(= \frac{1}{2}\overrightarrow{BI} - \frac{3}{2}\overrightarrow{CB} - \frac{3}{2}\overrightarrow{BI} = -\overrightarrow{BI} + \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}\)

Étape 3 : Or \(\overrightarrow{BI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}\), donc \(-\frac{3}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{3}{2}\overrightarrow{BC} = 0\)

Conclusion\(I = \text{Bar}\left\{\left(B; \frac{1}{2}\right); \left(C; -\frac{3}{2}\right)\right\}\)

Dans le repère \(R(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})\) :
a) Déterminer les coordonnées de \(I\), \(J\), \(K\).
b) Montrer que \(I\), \(J\), \(K\) sont alignés.

✅ Solution

Étape 2a : Dans \(R(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})\) : \(A(0;0), B(1;0), C(0;1)\)

Étape 2a : \(I\left(-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right)\), \(K\left(\frac{2}{5}; 0\right)\), \(J\left(0; \frac{7}{8}\right)\)

Étape 2b : Vecteur \(\overrightarrow{IK} = \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{2}; 0 - \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{9}{10}; -\frac{3}{2}\right)\)

Étape 2b : Vecteur \(\overrightarrow{IJ} = \left(0 + \frac{1}{2}; \frac{7}{8} - \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; -\frac{5}{8}\right)\)

Étape 2b : \(\overrightarrow{IK} = \frac{9}{5}\overrightarrow{IJ}\) (colinéaires)

Conclusion

Les vecteurs \(\overrightarrow{IK}\) et \(\overrightarrow{IJ}\) sont colinéaires, donc \(I\), \(J\), \(K\) sont alignés.

I, J, K sont alignés

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