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Exercice 3

Mobile en mouvement - Force constante Niveau : Moyen

1 Énoncé

Un mobile S de masse \(m = 1,5 \times 10^3\text{ kg}\) est en mouvement rectiligne uniforme de vitesse \(v = 30\text{ km.h}^{-1}\).

À l'instant \(t = 0\), on applique sur le mobile une force \(\vec{F}\) dont la direction et le sens du mouvement, sa puissance constante est \(P = 66\text{ kW}\).

1. Calculer la valeur de la vitesse \(v'\) en \(\text{km.h}^{-1}\) à l'instant \(t = 10\text{ s}\).

2. Déduire la valeur de la force \(\vec{F}\) à cet instant.

Mobile en mouvement - Force constante

1.

Calculer la vitesse \(v'\) à \(t = 10\text{ s}\).

✅ Solution
Étape 1 : On applique le théorème de l'énergie cinétique entre \(t = 0\) (point A) et \(t = 10\text{ s}\) (point B) :
$$\Delta E_c = E_{cB} - E_{cA} = W_{A\to B}(\vec{P}) + W_{A\to B}(\vec{R}) + W_{A\to B}(\vec{F})$$
Étape 2 : Les travaux du poids et de la réaction sont nuls car les forces sont perpendiculaires au déplacement :
$$\frac{1}{2} m(v'^2 - v^2) = P \cdot \Delta t$$
Étape 3 : On isole \(v'\) :
$$v'^2 = v^2 + \frac{2 \cdot P \cdot \Delta t}{m}$$ $$v' = \sqrt{v^2 + \frac{2 \cdot P \cdot \Delta t}{m}}$$
Étape 4 : Conversion de la vitesse initiale :
$$v = \frac{30}{3,6} \approx 8,33\text{ m/s}$$
Étape 5 : Application numérique :
$$v' = \sqrt{(8,33)^2 + \frac{2 \times 66 \times 10^3 \times 10}{1,5 \times 10^3}}$$ $$v' = \sqrt{69,44 + \frac{1,32 \times 10^6}{1,5 \times 10^3}} = \sqrt{69,44 + 880}$$ $$v' = \sqrt{949,44} \approx 30,8\text{ m/s}$$
Étape 6 : Conversion en \(\text{km.h}^{-1}\) :
$$v' = 30,8 \times 3,6 \approx 111\text{ km.h}^{-1}$$
Réponse
$$v' \approx 111\text{ km.h}^{-1}$$
2.

Déduire la valeur de la force \(\vec{F}\).

✅ Solution
Étape 1 : La puissance de la force \(\vec{F}\) à l'instant \(t = 10\text{ s}\) est :
$$P = \vec{F} \cdot \vec{v'} = F \cdot v' \cdot \cos 0^\circ = F \cdot v'$$
Étape 2 : On isole \(F\) :
$$F = \frac{P}{v'} = \frac{66 \times 10^3}{30,8} \approx 2,1 \times 10^3\text{ N}$$
Réponse
$$F \approx 2,1 \times 10^3\text{ N}$$
Exercice 2 Exercice 4