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Exercice 6

Voiture et caravane Niveau : Moyen

1 Énoncé

Une voiture tire une caravane de masse $m = 800\text{ kg}$ sur une route horizontale à la vitesse constante $v = 72\text{ km/h}$. La force de frottement s'exerçant sur la caravane est $f = 200\text{ N}$.

1. Calculer la valeur de la force de traction $F$ exercée par la voiture sur la caravane.

2. Calculer la puissance $P_1$ développée par la force de traction.

La voiture et la caravane se déplacent maintenant sur une pente formant un angle $\alpha = 20^\circ$ avec l'horizontale. On gardera la même valeur pour la force de frottement $f$.

3. Quelle doit être la valeur de la nouvelle puissance $P_2$ afin que le conducteur garde la même vitesse $v$ ?

Voiture tirant une caravane

Calculer la valeur de la force de traction $F$.

✅ Solution

Étape 1 : Système étudié : la caravane.
La vitesse est constante, donc d'après le principe d'inertie :

$$\sum \vec{F} = \vec{0}$$

Étape 2 : Forces exercées sur la caravane :

$\vec{P}$ : Poids (vertical)
$\vec{R}$ : Réaction normale
$\vec{f}$ : Force de frottement (opposée au mouvement)
$\vec{F}$ : Force de traction (motrice)

Étape 3 : Projection sur l'axe horizontal :

$$F - f = 0 \quad \Rightarrow \quad F = f = 200\text{ N}$$

Réponse
                                    $$F = 200\text{ N}$$
                                

Calculer la puissance $P_1$ développée par la force de traction.

✅ Solution

Étape 1 : La puissance est :

$$P_1 = F \cdot v$$

Étape 2 : Conversion de la vitesse :

$$v = 72\text{ km/h} = \frac{72 \times 10^3}{3600} = 20\text{ m/s}$$

Étape 3 : Application numérique :

$$P_1 = 200 \times 20 = 4000\text{ W} = 4,0\text{ kW}$$

Réponse
                                    $$P_1 = 4,0\text{ kW}$$
                                

Calculer la nouvelle puissance $P_2$ sur la pente.

✅ Solution

Étape 1 : Sur la pente, la vitesse est constante, donc :

$$\vec{P} + \vec{R} + \vec{f} + \vec{F} = \vec{0}$$

Étape 2 : Projection sur l'axe parallèle à la pente :

$$-P\sin\alpha - f + F = 0$$ $$F = P\sin\alpha + f = m \cdot g \cdot \sin\alpha + f$$

Étape 3 : Application numérique :

$$F = 800 \times 10 \times \sin(20^\circ) + 200$$ $$F = 8000 \times 0,342 + 200 = 2736 + 200 = 2936\text{ N}$$

Étape 4 : La puissance est :

$$P_2 = F \cdot v = 2936 \times 20 = 58720\text{ W} \approx 58,7\text{ kW}$$

Réponse
                                    $$P_2 \approx 58,7\text{ kW}$$
                                

Exercice 5 Exercice 7