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Partie 3 : Circuit électrique simple - Loi de Pouillet

Table des matières

1. Loi de Pouillet
2. Bilan énergétique du circuit
3. Rendement global d'un circuit simple

1 Loi de Pouillet

Circuit série simple

On considère un circuit en série, sans dérivation, constitué d'un générateur (E, r), d'un moteur (E', r') et d'un conducteur ohmique de résistance R.

Établissement de la loi

D'après la loi d'additivité des tensions : $U_{PN} = U_{AB} + U_{BC}$

En utilisant les lois d'Ohm du générateur et du récepteur :

$$E - r.I = E' + r'.I + R.I$$

$$E - E' = (R + r + r').I$$

$$I = \frac{E - E'}{R + r + r'}$$

Généralisation - Loi de Pouillet

Pour un circuit série comportant plusieurs générateurs et récepteurs :

$$I = \frac{\sum E - \sum E'}{\sum R}$$

où $\sum R$ regroupe toutes les résistances du circuit (résistances internes r, r' et conducteurs ohmiques R).

2 Bilan énergétique du circuit

Multiplication par I.Δt

En multipliant les deux membres de $E - E' = (R+r+r').I$ par $I.\Delta t$ :

$$(E - E').I.\Delta t = (R+r+r').I^2.\Delta t$$

$$E.I.\Delta t = E'.I.\Delta t + (R+r+r').I^2.\Delta t$$

$$W_g = W_u + W_{th}$$

Grandeur	Expression	Signification
$W_g$	$E.I.\Delta t$	Énergie totale fournie par le générateur
$W_u$	$E'.I.\Delta t$	Énergie utile (mécanique pour le moteur)
$W_{th}$	$(R+r+r').I^2.\Delta t$	Énergie thermique dissipée dans tout le circuit

Remarque

Bilan de puissance équivalent : $P_g = P_u + P_{th}$ avec $P_g = E.I$, $P_u = E'.I$ et $P_{th} = (R+r+r').I^2$.

De manière générale, dans tout circuit électrique : Énergie totale = Énergie utile + Énergie Joule dissipée (chaleur).

3 Rendement global d'un circuit simple

Définition

Le rendement global du circuit est le rapport de l'énergie utile $W_u$ par l'énergie totale $W_g$ fournie par le générateur :

$$\rho = \frac{W_u}{W_g} = \frac{E'.I.\Delta t}{E.I.\Delta t} \implies \rho = \frac{E'}{E}$$

Remarque importante

Le rendement global d'un circuit simple est aussi le produit du rendement du générateur et du rendement du récepteur :

$$\rho_{circuit} = \rho_{générateur} \times \rho_{récepteur}$$

Exemple d'application

Un circuit comporte un générateur ($E=6\,V$ ; $r=2\,\Omega$) et un électrolyseur ($E'=2{,}4\,V$ ; $r'=10\,\Omega$) montés en série. Déterminer l'intensité I, puis le rendement du générateur, du récepteur et du circuit.

1. Loi de Pouillet :

$I = \dfrac{E-E'}{r+r'} = \dfrac{6-2{,}4}{2+10} = 0{,}3\ A$

2. Tension $U = E - r.I = 6 - 2\times0{,}3 = 5{,}4\ V$

3. Rendement du générateur : $\rho_G = \dfrac{U}{E} = \dfrac{5{,}4}{6} = 0{,}9 \Rightarrow 90\%$

4. Rendement du récepteur : $\rho_E = \dfrac{E'}{U} = \dfrac{2{,}4}{5{,}4} \approx 0{,}444 \Rightarrow 44{,}4\%$

5. Rendement du circuit : $\rho_C = \dfrac{E'}{E} = \dfrac{2{,}4}{6} = 0{,}40 \Rightarrow 40\%$

Vérification : $\rho_C = \rho_G \times \rho_E = 0{,}9 \times 0{,}444 = 0{,}40$ ✓

                    Résumé général de la partie 3
                    Loi de Pouillet : $I = \dfrac{\sum E - \sum E'}{\sum R}$.
Bilan énergétique : $W_g = W_u + W_{th}$ (généralement : énergie totale = énergie utile + énergie Joule).
Rendement global : $\rho = \dfrac{E'}{E} = \rho_{générateur} \times \rho_{récepteur}$.

                

Conseil méthodologique

Pour résoudre un exercice sur un circuit série : 1) identifier chaque dipôle (générateur ou récepteur) selon le sens du courant, 2) appliquer la loi de Pouillet pour trouver I, 3) calculer les tensions par la loi d'Ohm de chaque dipôle, 4) faire le bilan de puissance/énergie, 5) vérifier avec $P_g = P_u + P_{th}$.

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