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Partie 4 : Facteurs influençant l'énergie fournie - Limites de fonctionnement

Table des matières

1 Influence de la force électromotrice

Circuit d'étude

On considère un générateur (E, r) débitant dans un dipôle résistif équivalent de résistance $R_{éq}$. D'après la loi de Pouillet :

$$I = \frac{E}{r + R_{éq}}$$

Énergie fournie au circuit résistif

L'énergie électrique fournie par le générateur pendant Δt est $W_{ex} = U_{PN}.I.\Delta t$, donc :

$$W_{ex} = R_{éq}.I^2.\Delta t = \frac{R_{éq}}{(r+R_{éq})^2}.E^2.\Delta t$$

Résumé
  • La puissance (et l'énergie) électrique fournie par un générateur est proportionnelle au carré de sa force électromotrice E.
  • Doubler E multiplie la puissance fournie par 4 (à R et r fixes).

2 Influence de la résistance du circuit

Cas d'un conducteur ohmique R

Si le dipôle résistif est un simple conducteur ohmique de résistance R :

$$W_{ex} = R.I^2.\Delta t = \frac{R}{(r+R)^2}.E^2.\Delta t$$

Puissance maximale transférée

Mathématiquement, la puissance $P_e$ transférée au circuit résistif est maximale lorsque la résistance du circuit est égale à la résistance interne du générateur :

$$R = r \quad \Longrightarrow \quad P_{e\,max} = \frac{E^2}{4r}$$

Remarque

C'est le principe d'adaptation d'impédance : un générateur transfère le maximum de puissance à une charge résistive lorsque cette dernière est égale à sa résistance interne.

3 Influence du mode d'association des résistances

Association en série (générateur idéal, r négligeable)

Pour deux conducteurs ohmiques $R_1$ et $R_2$ montés en série ($R_{éq} = R_1+R_2$) :

$$P = \frac{E^2}{R_1+R_2}$$

Association en parallèle

Pour les mêmes conducteurs montés en parallèle ($R'_{éq} = \dfrac{R_1.R_2}{R_1+R_2}$) :

$$P' = (R_1+R_2).\frac{E^2}{R_1.R_2}$$

Conclusion

$$\frac{P'}{P} = \frac{(R_1+R_2)^2}{R_1.R_2} > 1 \quad \Longrightarrow \quad P' > P$$

La puissance électrique fournie par un générateur à des conducteurs ohmiques montés en parallèle est supérieure à celle fournie aux mêmes conducteurs montés en série.

4 Limites de fonctionnement des générateurs et des récepteurs

Limite d'un générateur (alimentation stabilisée)

Une alimentation stabilisée fournit une tension constante tant que l'intensité ne dépasse pas une valeur limite $I_\ell$ indiquée par le constructeur :

$$P_{max} = E.I_\ell$$

Limite d'un conducteur ohmique

Un conducteur ohmique s'échauffe lorsqu'il est traversé par un courant. Le fabricant indique sa résistance R et sa puissance maximale $P_{max}$ qu'il peut dissiper sans être détérioré :

$$P_{max} = U_{max}.I_{max} = R.I_{max}^2 = \frac{U_{max}^2}{R}$$

$$I_{max} = \sqrt{\frac{P_{max}}{R}} \qquad U_{max} = \sqrt{R.P_{max}}$$

Exemple d'application

Un chargeur USB a pour f.é.m $E=5{,}0\,V$ et résistance interne $r=1{,}2\,\Omega$. On y connecte un téléphone assimilé à une résistance $R=5{,}5\,\Omega$. Le téléphone se recharge si la tension aux bornes du chargeur est au moins égale à $4{,}0\,V$. Le téléphone peut-il se recharger ?

1. Loi de Pouillet : $I = \dfrac{E}{r+R} = \dfrac{5{,}0}{1{,}2+5{,}5} \approx 0{,}746\ A$
2. Tension aux bornes du chargeur : $U = E - r.I = 5{,}0 - 1{,}2\times0{,}746 \approx 4{,}10\ V$
$U \approx 4{,}10\ V \geq 4{,}0\ V$ ⟹ le téléphone peut se recharger.
Résumé général de la partie 4
  • $W_{ex} \propto E^2$ : la puissance fournie est proportionnelle au carré de la f.é.m.
  • $P_{e\,max} = \dfrac{E^2}{4r}$ obtenue pour $R = r$.
  • Association en parallèle > association en série pour la puissance fournie.
  • Limite du générateur : $P_{max}=E.I_\ell$. Limite d'un conducteur ohmique : $I_{max}=\sqrt{P_{max}/R}$, $U_{max}=\sqrt{R.P_{max}}$.
Conseil méthodologique

Pour protéger un composant (DEL, conducteur ohmique...), il faut toujours vérifier que l'intensité (ou la tension) réelle du circuit reste inférieure ou égale aux valeurs maximales données par le constructeur, sinon il faut ajouter une résistance de protection.

Partie 3 Résumé