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Partie 2 : Variation de Epp - État de référence - Relation W(P)

Table des matières

1 État de référence de l'énergie potentielle de pesanteur

Définition

L'état de référence est un état qu'on choisit arbitrairement et pour lequel l'énergie potentielle de pesanteur est nulle.

On note $z_{ref}$ l'altitude de l'état de référence.

Détermination de la constante C

On a : $E_{pp} = m \cdot g \cdot z + C$

À l'état de référence : $z = z_{ref}$ et $E_{pp} = 0$

$$0 = m \cdot g \cdot z_{ref} + C \Rightarrow C = -m \cdot g \cdot z_{ref}$$

L'expression de $E_{pp}$ devient :

$$E_{pp} = m \cdot g \cdot (z - z_{ref})$$

État de référence pour l'énergie potentielle de pesanteur

Remarques
  • Le choix de l'état de référence est arbitraire.
  • Si $z > z_{ref}$ : $E_{pp} > 0$ (énergie positive).
  • Si $z < z_{ref}$ : $E_{pp} < 0$ (énergie négative).
  • Si $z = z_{ref}$ : $E_{pp} = 0$.
  • Seule la variation de $E_{pp}$ dépend du choix de la référence.
📝 Exemple

Un objet de masse $m = 5\text{ kg}$ se trouve à une altitude $z = 10\text{ m}$. On choisit l'état de référence :

  • Cas 1 : $z_{ref} = 0$ (sol)
  • Cas 2 : $z_{ref} = 5\text{ m}$
Cas 1 : $E_{pp} = 5 \times 10 \times (10 - 0) = 500\text{ J}$
Cas 2 : $E_{pp} = 5 \times 10 \times (10 - 5) = 250\text{ J}$

L'énergie dépend du choix de la référence, mais sa variation est la même.

2 Variation de l'énergie potentielle de pesanteur

Définition

La variation de l'énergie potentielle de pesanteur entre un état initial A (altitude $z_A$) et un état final B (altitude $z_B$) est :

$$\Delta E_{pp} = E_{pp}(B) - E_{pp}(A) = m \cdot g \cdot (z_B - z_A)$$
Propriétés
  • La variation $\Delta E_{pp}$ ne dépend pas du choix de l'état de référence.
  • Si $z_B > z_A$ : $\Delta E_{pp} > 0$ (l'énergie potentielle augmente).
  • Si $z_B < z_A$ : $\Delta E_{pp} < 0$ (l'énergie potentielle diminue).
  • Si $z_B = z_A$ : $\Delta E_{pp} = 0$ (l'énergie potentielle est constante).

Variation de $E_{pp}$ entre A et B

📝 Exemple

Un objet de masse $m = 2\text{ kg}$ se déplace du point A ($z_A = 3\text{ m}$) au point B ($z_B = 8\text{ m}$). On prend $g = 10\text{ N/kg}$.

$$\Delta E_{pp} = 2 \times 10 \times (8 - 3) = 100\text{ J}$$

$\Delta E_{pp} > 0$ : l'énergie potentielle augmente.

Résumé
  • $\Delta E_{pp} = m \cdot g \cdot (z_B - z_A)$
  • La variation ne dépend pas de la référence.
  • $\Delta E_{pp} > 0$ : montée (énergie augmente).
  • $\Delta E_{pp} < 0$ : descente (énergie diminue).

3 Relation entre $\Delta E_{pp}$ et le travail du poids

Propriété fondamentale

La variation de l'énergie potentielle de pesanteur est égale à l'opposé du travail du poids :

$$\Delta E_{pp} = -W_{A \to B}(\vec{P})$$

ou encore :

$$W_{A \to B}(\vec{P}) = -\Delta E_{pp} = E_{pp}(A) - E_{pp}(B)$$
Démonstration
Étape 1 : On a $\Delta E_{pp} = m \cdot g \cdot (z_B - z_A)$
Étape 2 : Le travail du poids est $W_{A \to B}(\vec{P}) = m \cdot g \cdot (z_A - z_B)$
Étape 3 : On remarque que $W_{A \to B}(\vec{P}) = -m \cdot g \cdot (z_B - z_A) = -\Delta E_{pp}$
Étape 4 : Donc $\Delta E_{pp} = -W_{A \to B}(\vec{P})$

Relation entre $\Delta E_{pp}$ et le travail du poids

📝 Exemple

Un objet de masse $m = 3\text{ kg}$ tombe du point A ($z_A = 10\text{ m}$) au point B ($z_B = 2\text{ m}$). On prend $g = 10\text{ N/kg}$.

$$\Delta E_{pp} = 3 \times 10 \times (2 - 10) = -240\text{ J}$$
$$W_{A \to B}(\vec{P}) = 3 \times 10 \times (10 - 2) = 240\text{ J}$$

On vérifie bien : $\Delta E_{pp} = -W_{A \to B}(\vec{P})$

Résumé
  • $\Delta E_{pp} = -W_{A \to B}(\vec{P})$
  • Le poids est une force conservative.
  • L'énergie potentielle de pesanteur est une énergie stockée.
  • Le travail du poids transforme l'énergie potentielle en énergie cinétique (ou inversement).
Partie 1 Partie 3