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Partie 3 : Énergie mécanique - Conservation

Table des matières

1 Définition de l'énergie mécanique

Définition

L'énergie mécanique d'un solide, à chaque instant, est égale à la somme de son énergie cinétique $E_c$ et de son énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ :

$$E_m = E_c + E_{pp}$$
Expressions selon le type de mouvement
  • Translation : $E_m = \dfrac{1}{2} m \cdot v^2 + m \cdot g \cdot z + C$
  • Rotation : $E_m = \dfrac{1}{2} J_{\Delta} \cdot \omega^2 + m \cdot g \cdot z + C$

$J_{\Delta}$ : moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation (kg.m²)

Énergie mécanique = Énergie cinétique + Énergie potentielle de pesanteur

📝 Exemple

Un objet de masse $m = 2\text{ kg}$ se déplace à la vitesse $v = 3\text{ m/s}$ à l'altitude $z = 5\text{ m}$. On prend $g = 10\text{ N/kg}$ et la référence au sol ($z_{ref} = 0$).

$$E_c = \frac{1}{2} \times 2 \times 3^2 = 9\text{ J}$$
$$E_{pp} = 2 \times 10 \times 5 = 100\text{ J}$$
$$E_m = 9 + 100 = 109\text{ J}$$
Résumé
  • $E_m = E_c + E_{pp}$
  • $E_c$ : énergie liée au mouvement.
  • $E_{pp}$ : énergie liée à la position.
  • L'énergie mécanique est la somme de ces deux énergies.

2 Conservation de l'énergie mécanique

Cas de la chute libre

Un corps solide en chute libre (il n'est soumis qu'à son poids) se déplace de A à B.

D'après le théorème de l'énergie cinétique :

$$\Delta E_c = E_c(B) - E_c(A) = W_{A \to B}(\vec{P})$$

Or $\Delta E_{pp} = -W_{A \to B}(\vec{P})$

$$\Delta E_c = -\Delta E_{pp} \Rightarrow E_c(B) + E_{pp}(B) = E_c(A) + E_{pp}(A)$$
$$E_m(B) = E_m(A)$$

L'énergie mécanique se conserve !

Conditions de conservation
  • Le système n'est soumis qu'à des forces conservatives (comme le poids).
  • Les frottements sont négligeables.
  • Le travail des forces non conservatives est nul.

Conservation de l'énergie mécanique : Em = constante

Conséquences
  • $E_m(A) = E_m(B)$ : l'énergie mécanique est constante.
  • Lorsque l'altitude diminue, $E_{pp}$ diminue et $E_c$ augmente.
  • Lorsque l'altitude augmente, $E_{pp}$ augmente et $E_c$ diminue.
  • Il y a transformation de l'énergie potentielle en énergie cinétique (et inversement).
📝 Exemple

Un objet de masse $m = 0.5\text{ kg}$ est lâché sans vitesse initiale du point A ($z_A = 5\text{ m}$). On néglige les frottements. On prend $g = 10\text{ N/kg}$.

Calcul de la vitesse en B ($z_B = 2\text{ m}$) :

1 : Conservation de $E_m$ : $E_m(A) = E_m(B)$
2 : $E_c(A) + E_{pp}(A) = E_c(B) + E_{pp}(B)$
3 : $0 + m \cdot g \cdot z_A = \frac{1}{2} m \cdot v_B^2 + m \cdot g \cdot z_B$
4 : $v_B^2 = 2 \cdot g \cdot (z_A - z_B) = 2 \times 10 \times (5 - 2) = 60$
5 : $v_B = \sqrt{60} \approx 7.75\text{ m/s}$
Résumé
  • En l'absence de frottement : $E_m = \text{constante}$.
  • Transformation $E_{pp} \leftrightarrow E_c$.
  • La conservation de l'énergie mécanique est un principe fondamental de la physique.

3 Activité expérimentale : Table à coussin d'air inclinée

Autoporteur sur une table à coussin d'air inclinée

Protocole

Un autoporteur de masse $m = 732\text{ g}$ est posé sur une table à coussin d'air inclinée d'un angle $\alpha = 10^\circ$ par rapport à l'horizontale.

On prend $g = 9.8\text{ N/kg}$.

L'autoporteur est abandonné sans vitesse initiale.

Tableau des résultats
Position$M_1$$M_2$$M_3$$M_4$$M_5$
$t\text{ (ms)}$$0$$60$$120$$180$$240$
$E_c\text{ (mJ)}$$0$$4.29$$13.45$$31.14$$53.78$
$E_{pp}\text{ (mJ)}$$174.40$$164.43$$145.75$$120.83$$88.44$
$E_m\text{ (mJ)}$$174.40$$168.72$$159.20$$151.97$$142.22$

On constate que $E_c$ augmente, $E_{pp}$ diminue, mais leur somme $E_m$ n'est pas parfaitement constante (frottements résiduels).

Conclusion

Lorsque les frottements sont négligeables, l'énergie mécanique se conserve.

La petite variation observée est due aux frottements résiduels de l'air et au frottement du mobile sur la table.

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