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Partie 4 : Théorème de l'énergie cinétique - Activité 2

Table des matières

1 Activité 2

🎯 Énoncé

Une bille d'acier de masse \(m = 100\text{ g}\), est maintenue par un électroaimant ; quand on ouvre le circuit d'alimentation, la bille tombe d'un mouvement rectiligne vertical.

Grâce à un dispositif convenable on a obtenu les résultats indiqués dans le tableau suivant :

Hauteur \(h\) (en m) Temps \(t\) (en s) Vitesse \(v\) (en m/s) \(v^2\) (en \(m^2/s^2\))
0,00 0,00 0,00 0,00
0,10 0,14 1,40 1,96
0,20 0,20 1,98 3,92
0,40 0,28 2,80 7,84
0,60 0,35 3,43 11,76
0,80 0,40 3,96 15,68
1,00 0,45 4,42 19,54
Questions
  1. 1. Compléter le tableau ci-dessus.
  2. 2. Tracer la courbe \(v^2 = f(h)\) représentant la variation de \(v^2\) en fonction de \(h\). Que pouvons-nous en déduire ?
  3. 3. Trouver le coefficient directeur de la courbe obtenue en précisant son unité.
    On donne \(g = 9,8\text{ N/kg}\) et \(1\text{ N/kg} = 1\text{ m/s}^2\)
  4. 4. Comparer la grandeur \(\frac{1}{2} m \cdot v^2\) et \(m \cdot g \cdot h\). Que peut-on en conclure ?
  5. 5. Vérifier par calcul la relation \(\Delta E_C = W(\vec{P})\) à la hauteur \(h = 1,0\text{ m}\).

Courbe \(v^2 = f(h)\)

2 Correction

Question 1 : Compléter le tableau

Tableau complété
Hauteur \(h\) (en m) \(v^2\) (en \(m^2/s^2\))
0,000,00
0,101,96
0,203,92
0,407,84
0,6011,76
0,8015,68
1,0019,60

\(v^2 = 2g \cdot h\) avec \(g = 9,8\text{ m/s}^2\)

Question 2 : Courbe \(v^2 = f(h)\)

Correction
Observation : La courbe est une droite passant par l'origine.
Déduction : \(v^2\) est proportionnelle à la hauteur \(h\).
Équation : \(v^2 = a \cdot h\) avec \(a\) le coefficient directeur.

Question 3 : Coefficient directeur

Correction
Étape 1 : On calcule le coefficient directeur \(a\) :
$$a = \frac{\Delta v^2}{\Delta h} = \frac{7,84 - 1,96}{0,4 - 0,1} = \frac{5,88}{0,3} = 19,6\text{ m/s}^2$$
Étape 2 : On remarque que :
$$a = 2g = 2 \times 9,8 = 19,6\text{ m/s}^2$$
Étape 3 : Donc \(v^2 = 2g \cdot h\)
✅ \(a = 19,6\text{ m/s}^2 = 2g\)

Question 4 : Comparaison

Correction
Étape 1 : D'après la question 3, \(v^2 = 2g \cdot h\)
Étape 2 : On multiplie par \(\frac{1}{2}m\) :
$$\frac{1}{2} m \cdot v^2 = \frac{1}{2} m \cdot 2g \cdot h = m \cdot g \cdot h$$
Étape 3 : On identifie :
  • \(\frac{1}{2} m \cdot v^2\) = énergie cinétique \(E_C\)
  • \(m \cdot g \cdot h\) = travail du poids \(W(\vec{P})\)
✅ Conclusion
$$E_C = W(\vec{P}) \quad \text{ou} \quad \Delta E_C = W(\vec{P})$$

La variation de l'énergie cinétique est égale au travail du poids.

Question 5 : Vérification par calcul

Correction

Vérifions la relation \(\Delta E_C = W(\vec{P})\) à la hauteur \(h = 1,0\text{ m}\).

Étape 1 : Calcul du travail du poids
$$W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot h = 0,1 \times 9,8 \times 1,0 = 0,98\text{ J}$$
Étape 2 : Calcul de l'énergie cinétique

D'après le tableau, à \(h = 1,0\text{ m}\), \(v^2 = 19,60\text{ m}^2/s^2\)

$$E_C = \frac{1}{2} m \cdot v^2 = \frac{1}{2} \times 0,1 \times 19,60 = 0,98\text{ J}$$
Étape 3 : Variation de l'énergie cinétique

La bille part du repos : \(E_{C_i} = 0\) à \(h = 0\text{ m}\)

$$\Delta E_C = E_C - 0 = 0,98\text{ J}$$
✅ Vérification
$$\Delta E_C = W(\vec{P}) = 0,98\text{ J}$$

La relation est vérifiée !

3 Synthèse

Résumé des résultats
  • \(v^2 = 2g \cdot h\) : relation entre vitesse et hauteur
  • \(E_C = \frac{1}{2} m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h = W(\vec{P})\)
  • La variation de l'énergie cinétique est égale au travail du poids
  • Le poids est une force conservative
Application du théorème

Pour la bille en chute libre :

$$\Delta E_C = \sum W(\vec{F}_{ext}) = W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot h$$

Le théorème de l'énergie cinétique est bien vérifié.

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