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Partie 3 : Travail du poids - Travail d'un ensemble de forces

Table des matières

1 Travail du poids d'un corps solide

Soit un corps de masse \(m\). Son centre d'inertie \(G\) se déplace d'un point \(A\) d'altitude \(z_A\) à un point \(B\) d'altitude \(z_B\).

Travail du poids : W = m·g·(zA - zB)

Expression du travail du poids

Dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), les coordonnées du poids sont :

$$\vec{P} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -mg \end{pmatrix} = -mg\,\vec{k}$$

Le travail du poids pour un déplacement de A à B est :

$$W_{A \to B}(\vec{P}) = m \cdot g \cdot (z_A - z_B)$$
Propriétés
  • Le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi.
  • Il ne dépend que de l'altitude initiale \(z_A\) et de l'altitude finale \(z_B\).
  • Le poids est une force conservative.
Cas particuliers
  • Si le corps descend (\(z_A > z_B\)) : \(W > 0\) → travail moteur
  • Si le corps monte (\(z_A < z_B\)) : \(W < 0\) → travail résistant
  • Si le corps reste à la même altitude (\(z_A = z_B\)) : \(W = 0\) → travail nul
📝 Exemple

Une balle de masse \(m = 0.1\text{ kg}\) tombe d'une hauteur \(h = 2\text{ m}\).

Étape 1 : \(z_A = 2\text{ m}\), \(z_B = 0\text{ m}\)
Étape 2 : \(W = m \cdot g \cdot (z_A - z_B) = 0.1 \times 10 \times (2 - 0)\)
Étape 3 : \(W = 2\text{ J}\) (travail moteur)
Résumé
  • \(W_{\vec{P}} = m \cdot g \cdot (z_A - z_B)\)
  • Le travail du poids est conservatif (indépendant du chemin).
  • Moteur lors d'une descente, résistant lors d'une montée.

2 Travail d'un ensemble de forces constantes

Soit un solide \(S\) glissant sans frottement sur un plan horizontal. Ce solide est soumis à plusieurs forces.

Forces appliquées sur un solide en translation

Principe

Pour un solide en translation, soumis à plusieurs forces, la somme des travaux des forces appliquées est égale au travail de leur résultante :

$$\sum W_{A \to B}(\vec{F}_i) = W_{A \to B}\left(\sum \vec{F}_i\right) = \vec{F}_{\text{résultante}} \cdot \overrightarrow{AB}$$
📝 Exemple

Un solide est soumis à son poids \(\vec{P}\), une force de frottement \(\vec{f}\) et une réaction normale \(\vec{R}_N\).

$$\sum W = W(\vec{P}) + W(\vec{f}) + W(\vec{R}_N) = (\vec{P} + \vec{f} + \vec{R}_N) \cdot \overrightarrow{AB}$$
Propriété

Si le solide est en translation rectiligne, la somme des travaux des forces est égale au travail de la résultante des forces.

Remarque
  • Les forces dont le travail est nul (\(\vec{R}_N\) perpendiculaire au déplacement) ne contribuent pas.
  • Le travail total peut être moteur ou résistant selon le signe de la résultante.
Résumé
  • \(\sum W(\vec{F}_i) = W(\sum \vec{F}_i)\)
  • Seule la résultante détermine le travail total.
  • Les forces perpendiculaires au déplacement ont un travail nul.
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