1 Puissance moyenne
Définition
La puissance moyenne d'une force est le quotient du travail de cette force par la durée \(\Delta t\) pour réaliser ce travail :
$$P_m = \frac{W}{\Delta t}$$
Unités
- \(P_m\) : puissance en Watts (W)
- \(W\) : travail en Joules (J)
- \(\Delta t\) : durée en secondes (s)
\(1\text{ W} = 1\text{ J/s}\)
📝 Exemple
Une force effectue un travail \(W = 200\text{ J}\) pendant une durée \(\Delta t = 10\text{ s}\).
$$P_m = \frac{200}{10} = 20\text{ W}$$
2 Puissance instantanée
Définition
Si la force \(\vec{F}\) réalise un travail \(\delta W\) pendant une durée très petite \(\delta t\), la puissance instantanée de cette force est :
$$P = \frac{\delta W}{\delta t}$$
Expression en fonction de la force et de la vitesse
Puisque \(\delta W = \vec{F} \cdot \overrightarrow{\delta l}\) et \(\overrightarrow{\delta l} = \vec{v} \cdot \delta t\) :
$$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = F \cdot v \cdot \cos \alpha$$
où \(\vec{v}\) est le vecteur vitesse du point d'application de la force.
Puissance instantanée : P = F · v · cos α
Remarques
- La puissance instantanée est une grandeur algébrique.
- \(P > 0\) : la force fournit de la puissance.
- \(P < 0\) : la force reçoit de la puissance (puissance résistante).
- \(P = 0\) : la force ne fournit pas de puissance (perpendiculaire au mouvement).
📝 Exemple
Une force \(\vec{F} = 10\text{ N}\) s'applique sur un objet se déplaçant à la vitesse \(v = 2\text{ m/s}\). L'angle entre \(\vec{F}\) et \(\vec{v}\) est \(\alpha = 30^\circ\).
$$P = F \cdot v \cdot \cos \alpha = 10 \times 2 \times \cos(30^\circ) = 20 \times 0.866 = 17.32\text{ W}$$
Résumé
- \(P_m = \dfrac{W}{\Delta t}\) : puissance moyenne
- \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\) : puissance instantanée
- Unité : le Watt (W)
3 Puissance instantanée d'une force appliquée à un solide en rotation
On considère un solide en rotation autour d'un axe fixe avec une vitesse angulaire \(\omega\), sous l'action d'une force \(\vec{F}\) orthogonale à l'axe de rotation.
Puissance d'une force en rotation : P = MΔ(F) · ω
Expression
La puissance instantanée de la force \(\vec{F}\) est :
$$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = F \cdot v \cdot \cos \theta$$
Avec \(v = R \cdot \omega\), on obtient :
$$P = M_{\Delta}(\vec{F}) \cdot \omega$$
Notations
- \(M_{\Delta}(\vec{F})\) : moment de la force \(\vec{F}\) par rapport à l'axe \(\Delta\)
- \(\omega\) : vitesse angulaire du solide (rad/s)
- \(P\) : puissance en Watts (W)
Démonstration
- \(v = R \cdot \omega\)
- \(M_{\Delta}(\vec{F}) = F \cdot R \cdot \cos \theta\)
- Donc \(P = F \cdot R \cdot \omega \cdot \cos \theta = M_{\Delta}(\vec{F}) \cdot \omega\)
📝 Exemple
Une force de moment \(M = 5\text{ N·m}\) s'applique sur un disque tournant à \(\omega = 10\text{ rad/s}\).
$$P = M \cdot \omega = 5 \times 10 = 50\text{ W}$$
Résumé
- \(P = M_{\Delta}(\vec{F}) \cdot \omega\)
- \(M_{\Delta}(\vec{F})\) est le moment de la force (N·m)
- \(\omega\) est la vitesse angulaire (rad/s)
- Cette relation est valable pour une force orthogonale à l'axe de rotation.
