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Exercice 3

Forme canonique - Minimum Niveau : Facile

1 Énoncé

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = x^2 + x$

Écrire $f(x)$ sous forme canonique

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = x^2 + x$

Étape 2 : On complète le carré : $x^2 + x = \left(x^2 + x + \dfrac{1}{4}\right) - \dfrac{1}{4}$

Étape 3 : $= \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}$

Conclusion : La forme canonique est :

$f(x) = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}$

Vérifier que $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge -\dfrac{1}{4}$

✅ Solution

D'après la forme canonique :

Étape 1 : $f(x) = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4}$

Étape 2 : $\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

Étape 3 : Donc $\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} \ge -\dfrac{1}{4}$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R},\ f(x) \ge -\dfrac{1}{4}$ ✅

Résoudre l'équation $f(x) = -\dfrac{1}{4}$ et déduire une valeur minimale de la fonction f sur ℝ

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = -\dfrac{1}{4}$

Étape 2 : $\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{4}$

Étape 3 : $\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 = 0$

Étape 4 : $x + \dfrac{1}{2} = 0 \iff x = -\dfrac{1}{2}$

Ensemble des solutions :

$S = \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$

Déduction : On a montré que $f(x) \ge -\dfrac{1}{4}$ et $f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{4}$.

Conclusion

La valeur minimale de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $m = -\dfrac{1}{4}$.

Atteinte en $x = -\dfrac{1}{2}$.

Minimum $m = -\dfrac{1}{4}$ atteint en $x = -\dfrac{1}{2}$

Exercice 2 Exercice 4