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Exercice 4

Domaine de définition - Maximum Niveau : Moyen

1 Énoncé

Soit f la fonction définie par :

$f(x) = x\sqrt{4 - x^2}$

Déterminer $D_f$

✅ Solution

La fonction est définie si la quantité sous la racine carrée est positive ou nulle :

Étape 1 : $4 - x^2 \ge 0$

Étape 2 : $x^2 \le 4$

Étape 3 : $-2 \le x \le 2$

Conclusion : $D_f = [-2, 2]$

Étudier la parité de la fonction f

✅ Solution

Étape 1 : $f(-x) = (-x)\sqrt{4 - (-x)^2} = -x\sqrt{4 - x^2}$

Étape 2 : $= -f(x)$

Conclusion : $\forall x \in D_f,\ f(-x) = -f(x)$ donc $f$ est impaire.

Courbe de $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ (fonction impaire)

Déterminer le signe de $(f(x))^2 - 4$ et déduire que la fonction f admet une valeur maximale sur $D_f$

✅ Solution

Étape 1 : $(f(x))^2 - 4 = (x\sqrt{4-x^2})^2 - 4$

Étape 2 : $= x^2(4-x^2) - 4$

Étape 3 : $= 4x^2 - x^4 - 4$

Étape 4 : $= -(x^4 - 4x^2 + 4)$

Étape 5 : $= -(x^2 - 2)^2$

Étape 6 : $(x^2 - 2)^2 \ge 0 \Rightarrow -(x^2 - 2)^2 \le 0$

Conclusion : $\forall x \in D_f,\ (f(x))^2 - 4 \le 0$

Donc $(f(x))^2 \le 4 \iff |f(x)| \le 2 \iff -2 \le f(x) \le 2$

Déduction : On a $f(x) \le 2$ pour tout $x \in D_f$.

Égalité : $(f(x))^2 - 4 = 0 \iff (x^2 - 2)^2 = 0 \iff x^2 = 2 \iff x = \pm\sqrt{2}$

Vérification : $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}\sqrt{4-2} = \sqrt{2}\sqrt{2} = 2$ ✅

Conclusion

La fonction $f$ admet une valeur maximale sur $D_f$ : $M = 2$.

Atteinte en $x = \sqrt{2}$ (et $x = -\sqrt{2}$ donne le minimum $-2$).

Maximum $M = 2$ atteint en $x = \sqrt{2}$

Exercice 3 Exercice 5