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Exercice 5

Domaine - Monotonie - Maximum Niveau : Moyen

1 Énoncé

Soit f la fonction définie par :

$f(x) = \dfrac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$

Déterminer $D_f$

✅ Solution

La fonction est définie si :

Condition 1 : $1+x \ge 0 \iff x \ge -1$

Condition 2 : $x \neq 0$ (dénominateur)

Conclusion : $D_f = [-1, 0[ \cup ]0, +\infty[$

Vérifier que $\forall x \in D_f,\ f(x) = \dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}}$

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = \dfrac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$

Étape 2 : On multiplie par l'expression conjuguée : $\dfrac{\sqrt{1+x} - 1}{x} \times \dfrac{\sqrt{1+x} + 1}{\sqrt{1+x} + 1}$

Étape 3 : $= \dfrac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)}$

Étape 4 : $= \dfrac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)}$

Étape 5 : $= \dfrac{1}{\sqrt{1+x} + 1}$

Conclusion : $\forall x \in D_f,\ f(x) = \dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}}$ ✅

Montrer que f est décroissante sur $D_f$

✅ Solution

On utilise l'expression simplifiée : $f(x) = \dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}}$

Étape 1 : Soient $x, x' \in D_f$ avec $x < x'$.

Étape 2 : $x < x' \Rightarrow x+1 < x'+1 \Rightarrow \sqrt{x+1} < \sqrt{x'+1}$

Étape 3 : $1+\sqrt{x+1} < 1+\sqrt{x'+1}$

Étape 4 : $\dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}} > \dfrac{1}{1+\sqrt{x'+1}}$

Étape 5 : $f(x) > f(x')$

Conclusion : $\forall x < x',\ f(x) > f(x')$ donc $f$ est strictement décroissante sur $D_f$.

Montrer que $\forall x \in D_f,\ 0 < f(x) \le 1$

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = \dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}} > 0$ (car numérateur et dénominateur sont positifs)

Étape 2 : $\sqrt{x+1} \ge 0 \Rightarrow 1+\sqrt{x+1} \ge 1$

Étape 3 : $\dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}} \le 1$

Conclusion : $\forall x \in D_f,\ 0 < f(x) \le 1$ ✅

Calculer $f(-1)$ et déduire que 1 est une valeur maximale de la fonction f sur $D_f$

✅ Solution

Étape 1 : $f(-1) = \dfrac{1}{1+\sqrt{-1+1}} = \dfrac{1}{1+0} = 1$

Étape 2 : D'après la question 4, on a $f(x) \le 1$ pour tout $x \in D_f$.

Étape 3 : Et $f(-1) = 1$.

Conclusion

La valeur maximale de $f$ sur $D_f$ est $M = 1$.

Atteinte en $x = -1$.

Maximum $M = 1$ atteint en $x = -1$

Exercice 4 Exercice 6