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Exercice 6

Composée de fonctions Niveau : Facile

1 Énoncé

Soit f et g deux fonctions définies par :

$f(x) = \sqrt{x-1}$ et $g(x) = \dfrac{x}{x+2}$

Déterminer $D_{f \circ g}$ et $D_{g \circ f}$

✅ Solution

1) $D_{f \circ g}$

$f \circ g(x) = f(g(x)) = \sqrt{g(x)-1}$

Étape 1 : $D_f = [1, +\infty[$ et $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$

Étape 2 : Pour que $f \circ g$ soit définie, il faut que $g(x) \in D_f$, c'est-à-dire $g(x) \ge 1$.

Étape 3 : $\dfrac{x}{x+2} \ge 1$

Étape 4 : $\dfrac{x}{x+2} - 1 \ge 0 \iff \dfrac{x - (x+2)}{x+2} \ge 0 \iff \dfrac{-2}{x+2} \ge 0$

Étape 5 : $\dfrac{-2}{x+2} \ge 0 \iff x+2 < 0 \iff x < -2$

Conclusion : $D_{f \circ g} = ]-\infty, -2[$

2) $D_{g \circ f}$

$g \circ f(x) = g(f(x)) = \dfrac{f(x)}{f(x)+2}$

Étape 1 : $D_f = [1, +\infty[$

Étape 2 : Pour que $g \circ f$ soit définie, il faut que $x \in D_f$ et $f(x)+2 \neq 0$.

Étape 3 : $f(x)+2 = \sqrt{x-1}+2 > 0$ pour tout $x \ge 1$.

Conclusion : $D_{g \circ f} = [1, +\infty[$

                                Résumé
                                $D_{f \circ g} = ]-\infty, -2[$
$D_{g \circ f} = [1, +\infty[$

                            

Donner l'expression de $(f \circ g)(x)$ pour tout $x \in D_{f \circ g}$

✅ Solution

Étape 1 : $(f \circ g)(x) = f(g(x))$

Étape 2 : $= f\left(\dfrac{x}{x+2}\right)$

Étape 3 : $= \sqrt{\dfrac{x}{x+2} - 1}$

Étape 4 : $= \sqrt{\dfrac{x - (x+2)}{x+2}}$

Étape 5 : $= \sqrt{\dfrac{-2}{x+2}}$

Conclusion : $\forall x \in ]-\infty, -2[,\ (f \circ g)(x) = \sqrt{\dfrac{-2}{x+2}}$

Exercice 5 Exercice 7