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Exercice 8

Fonction bornée - Composée Niveau : Moyen

1 Énoncé

Soient f et g deux fonctions définies par :

$f(x) = 3x - 5$ et $g(x) = \dfrac{2x^2+1}{x^2+1}$

Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R},\ g(x) = 1 + \dfrac{x^2}{x^2+1}$

✅ Solution

Étape 1 : $g(x) = \dfrac{2x^2+1}{x^2+1}$

Étape 2 : $= \dfrac{x^2 + (x^2+1)}{x^2+1}$

Étape 3 : $= \dfrac{x^2}{x^2+1} + \dfrac{x^2+1}{x^2+1}$

Étape 4 : $= 1 + \dfrac{x^2}{x^2+1}$

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R},\ g(x) = 1 + \dfrac{x^2}{x^2+1}$ ✅

Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R},\ g(x) = 2 - \dfrac{1}{x^2+1}$ et déduire que : $\forall x \in \mathbb{R},\ 1 \le g(x) \le 2$

✅ Solution

Étape 1 : $g(x) = \dfrac{2x^2+1}{x^2+1}$

Étape 2 : $= \dfrac{2(x^2+1) - 1}{x^2+1}$

Étape 3 : $= 2 - \dfrac{1}{x^2+1}$

Égalité : $\forall x \in \mathbb{R},\ g(x) = 2 - \dfrac{1}{x^2+1}$ ✅

Encadrement :

Étape 1 : $x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2+1 \ge 1$

Étape 2 : $0 < \dfrac{1}{x^2+1} \le 1$

Étape 3 : $0 \le \dfrac{x^2}{x^2+1} < 1$ (d'après la question 1)

Étape 4 : $1 \le 1 + \dfrac{x^2}{x^2+1} < 2$

Conclusion

$\forall x \in \mathbb{R},\ 1 \le g(x) < 2$

(Ou $1 \le g(x) \le 2$ avec $g(0)=1$)

$x$	$x^2$	$g(x)$
$x=0$	$0$	$1$
$x \to \infty$	$\to \infty$	$\to 2$

Valeurs limites de g

La fonction f est-elle bornée sur ℝ ?

✅ Solution

Étape 1 : $f(x) = 3x - 5$

Étape 2 : Quand $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$

Étape 3 : Quand $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$

Conclusion : $f$ n'est pas bornée sur ℝ car elle n'est ni majorée ni minorée.

Raison

$f$ est une fonction affine non constante, elle n'est pas bornée sur ℝ.

Montrer que la fonction $g \circ f$ est bornée sur ℝ

✅ Solution

Étape 1 : $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x-5)$

Étape 2 : D'après la question 2, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $1 \le g(t) \le 2$

Étape 3 : En posant $t = f(x)$, on a $1 \le g(f(x)) \le 2$

Conclusion : La fonction $g \circ f$ est bornée sur ℝ car $1 \le (g \circ f)(x) \le 2$.

$1 \le (g \circ f)(x) \le 2$

Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R},\ 1 \le (g \circ f)(x) \le 2$

✅ Solution

Étape 1 : D'après la question 4, on a déjà démontré que $1 \le (g \circ f)(x) \le 2$.

Étape 2 : Ce résultat est une conséquence directe de l'encadrement de $g$.

Étape 3 : En effet, $g(t)$ est toujours compris entre $1$ et $2$, donc $g(f(x))$ aussi.

Conclusion : $\forall x \in \mathbb{R},\ 1 \le (g \circ f)(x) \le 2$ ✅

Résumé

$(g \circ f)(x)$ est bornée entre 1 et 2.

La valeur $1$ est atteinte quand $f(x) = 0$ soit $x = \dfrac{5}{3}$.

Exercice 7 Exercice 9