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Exercice 3

Équation cartésienne d'un plan Niveau : Facile

1 Énoncé

Écrire une équation cartésienne du plan $P$, sachant que le projeté orthogonal de l'origine sur $P$ est le point $A(1; 5; 7)$.

Écrire une équation cartésienne du plan $P$.

✅ Solution détaillée

Rappel

Le projeté orthogonal de l'origine $O$ sur un plan $P$ est le point $A$ de $P$ tel que la droite $(OA)$ est orthogonale au plan $P$.

Donc le vecteur $\overrightarrow{OA}$ est un vecteur normal au plan $P$.

Étape 1 : On identifie le vecteur normal au plan $P$.
Puisque $A$ est le projeté orthogonal de l'origine sur $P$, on a :

$$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} \quad \text{est normal à } P$$

Étape 2 : Une équation cartésienne d'un plan de vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ et passant par $A(x_A; y_A; z_A)$ est :

$$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$$

Étape 3 : On applique avec $\vec{n} = \overrightarrow{OA}(1; 5; 7)$ et $A(1; 5; 7)$ :

$$1(x - 1) + 5(y - 5) + 7(z - 7) = 0$$

Étape 4 : On développe :

$$x - 1 + 5y - 25 + 7z - 49 = 0$$ $$x + 5y + 7z - 75 = 0$$

Étape 5 : Vérification : $A(1; 5; 7)$ satisfait l'équation :

$$1 + 5 \times 5 + 7 \times 7 - 75 = 1 + 25 + 49 - 75 = 0 \quad \text{✅}$$

Étape 6 : Vérification que l'origine est le projeté orthogonal :
La droite $(OA)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{OA}(1; 5; 7)$.
Cette droite est orthogonale au plan $P$ car son vecteur directeur est normal à $P$.

Conclusion

Une équation cartésienne du plan $P$ est :

$$P : x + 5y + 7z - 75 = 0$$

Astuce

On peut aussi écrire l'équation sous la forme :

$$x + 5y + 7z = 75$$

Cette forme est plus compacte. On remarque que le terme constant est égal à $OA^2 = 1^2 + 5^2 + 7^2 = 75$.

Plan P d'équation x + 5y + 7z - 75 = 0 avec son projeté orthogonal A(1;5;7)

Exercice 2 Exercice 4