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Exercice 4

Équation d'une sphère Niveau : Facile

1 Énoncé

Écrire une équation de la sphère de centre $I(3; 1; -4)$, passant par le point $A(4; 2; 1)$.

1)

Déterminer une équation de la sphère.

✅ Solution détaillée
Rappel

Une sphère de centre $I(a; b; c)$ et de rayon $R$ a pour équation :

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$$
Étape 1 : On calcule le rayon $R$ de la sphère.
Puisque $A$ appartient à la sphère, on a $R = IA$.
$$IA = \sqrt{(x_A - x_I)^2 + (y_A - y_I)^2 + (z_A - z_I)^2}$$
Étape 2 : On calcule les différences :
$$x_A - x_I = 4 - 3 = 1$$ $$y_A - y_I = 2 - 1 = 1$$ $$z_A - z_I = 1 - (-4) = 5$$
Étape 3 : On calcule $IA^2$ :
$$IA^2 = 1^2 + 1^2 + 5^2 = 1 + 1 + 25 = 27$$
Étape 4 : Donc $R^2 = 27$.
Étape 5 : L'équation de la sphère est :
$$(x-3)^2 + (y-1)^2 + (z+4)^2 = 27$$
Étape 6 : Vérification : $A(4; 2; 1)$ satisfait l'équation :
$$(4-3)^2 + (2-1)^2 + (1+4)^2 = 1^2 + 1^2 + 5^2 = 27 \quad \text{✅}$$
Conclusion

Une équation de la sphère est :

$$S : (x-3)^2 + (y-1)^2 + (z+4)^2 = 27$$
Forme développée

On peut aussi écrire l'équation sous forme développée :

$$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 + z^2 + 8z + 16 = 27$$ $$x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 2y + 8z + 26 = 27$$ $$x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 2y + 8z - 1 = 0$$

Sphère de centre I(3;1;-4) passant par A(4;2;1)

Exercice 3 Exercice 5